并查集（标准并查集、带权并查集、扩展域并查集）-优快云博客

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什么是并查集？

并查集是一种数据结构，用来管理集合之间的关系，可以用来进行判断是否属于同一集合或将不同的集合合并等操作。

我们用个生活中的例子来说明一下

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原本小明家这个集合只有小明，小红家只有小红，那么他们结婚后（合并）就属于一个家庭（一个集合），像这样，通过并查集我们能够合并不同的集合，然后还能快速地查找他们是不是同一个集合。

并查集的基本操作

合并集合的操作（将两个不同的集合合并）
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这是两个不同的集合，我们想将两个集合合并的话，那么当然就是把2和4（接下来我们叫祖宗节点，一个集合一定只有一个祖宗节点，且祖宗节点的父节点等于它本身，因为祖宗节点往上没有节点了）连接起来就形成了一个集合。

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查找祖宗节点（用于判断是否属于统一集合）

根据上图，我们要想找3的祖宗节点，就要递归找3这个节点的父节点的祖宗节点，一直递归，直到找到祖宗节点，如果每次都这样查找，每次查找的时间是O(logn)也就是高度次，看起来时间并不长，如果需要大量查找的话，就会大大降低效率，所以要引出路径压缩的操作，该如何操作呢？

我们希望：在第一次查询的时候，让路径上的每个节点都与祖宗节点相连，那么虽然在第一次查询的次数为高度
次，但下一次再次查询的时候，时间复杂度就会压缩成O(1).

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下面用一道模板题来实现一下并查集的操作

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int p[N];//记录该节点的父亲节点
int find(int x){
   
	//查找祖宗节点操作
	if(p[x]!=x){
   
	//如果该节点的父亲节点不是本身，说明不是祖宗节点
	p[x]=find(p[x]);//让父节点指向最终找到的父亲节点，递归
	}
	return p[x];//如果不是父节点等于本身，说明是祖宗节点，返回
}
int main(){
   
	int n,m;//n是数字个数，m是操作次数
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
	//一定要记得初始化，这样初始化的原因是因为一开始并没有集合合并
	//每个节点的父节点都是自己，也就是是说大家都是祖宗节点，都是不同的集合
	while(m--){
   
	char op[2];int a,b;
	scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
	if(*op=='M'){
   
	p[find(a)]=find(b);//这个操作是指，a的祖宗节点的父节点是b的祖宗节点，目的就是让两个集合连接
	}
	else{
   
	if(find(a)==find(b)) puts("Yes");
	else puts("No");
	}
	}
	return 0;
}

以上是标准并查集的一些基本操作，接下来来介绍两个标准并查集的变种：带权并查集和扩展域并查集。并用一道经典例题来介绍这两种并查集的使用。
例题如下：
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