Scalable Bloom Filter

前面提到了Bloom Filter用于存储并且搜索数据，但是前提是可以估计出插入的元素大小n，从而得到k和m。但是如果是动态插入元素，无法预知n的大小时，还采用标准的Bloom Filter将导致bit数组趋近于满负荷，会导致哈希函数的冲突显著增加，最直接的影响就是false positive显著上升。而Scalable Bloom Filter(SBT)就是为了解决这个问题，保证Bloom Filter的总的false positive保持在一定的可接受范围内，不至于无限制增加。

Scalable Bloom Filter是对标准的Bloom Filter的扩展，SBT由多个标准的Bloom Filter组成。初始的时候，SBT只有一个标准的Bloom Filter（BF0），它的false positive为P0，哈希函数个数为K0。将SBT的最后一个Bloom Filter记做BFi，那么当BFi被填满的时候（填充达到1/2），将新的BFi+1添加到SBT中。添加的规则是：false positive Pi+1 = Pi * r，哈希函数个数为Ki+1。

假设，当前Bloom Filter的总个数为l。此时，一连串的Bloom Filter的false positive为P0，P0 * r，P0 * r ^ 2， P0 * r ^ 3 ...... ，P0 * r ^ (l - 1)。那么混合的false positive（SBT的false positive）为，

根据下面的公式，

可以得出false positive的上届，

所以可以得出，

由于k = (m/n) * ln2，同时m= ( -n * lnp ) / (ln2 * ln2)，所以k = - lnp  / ln2。

所以可以推出，

同时，

为了使每一个k都是正整数，先假设r = 1 / 2。然后将r带入上面的公式，得到，

由于

可以得出， P0 = 1 / (2 ^ k0)，则，

上面给出了综合false positive的上界2P0。

下面来看看每个Bloom Filter的大小以及可以存储的元素个数之间的关系。

SBT设置各个Bloom Filter的大小为m0，m0 * s，m0 * (s^2)，......，m0 * (s ^ ( i -1))。为了方便计算，假设s = 2，也就是每添加一个Bloom Filter，新加入的都是它前面的Bloom Filter大小的2倍。

在这种情况下，可以得到SBT可以容纳的最大元素数（在保证bit位中0和1各占一半）为(2 ^ (i + 1 )- 1) * n0。其中n0表示第一个Bloom Filter中可以容纳的元素。

下面给出了证明的步骤：

前提：

证明：