从KL散度到MLE

最新推荐文章于 2025-03-13 23:40:23 发布
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文章标签： KL MLE
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这篇博客通过MIT 18.650 statistics for applications 的Lecture 4介绍了最大似然估计（MLE）的一种新颖理解方式。不同于常规直接给出MLE公式，作者通过最大范数距离到KL散度来解释MLE，指出在无法直接构造目标表达式且未知最优参数时，利用KL散度作为度量标准。由于KL散度在等于0时意味着两个分布相等，因此求解KL散度最小化的参数即为MLE。内容中还提到了信息熵和交叉熵的概念，说明最小化交叉熵等同于求解MLE。

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MIT的课程 18.650 statistics for applications
在Lecture 4 讲MLE的时候，和一般书本上来就给出MLE公式的方法不同，这里使用Max variant distance -> KLdivergence ->MLE的方式，初看到这个过程，内心感觉还是比较有意思的，简单记录如下

假设我们要估算某个分布P的参数 θ∗ θ ∗ ，记为 θ^ θ ^ ,我们希望分布 P∗θ P θ ∗ 和 Pθ^ P θ ^ 越接近越好。怎么衡量呢，使用total variant distance,

TV(P∗θ,Pθ^)=maxA|Pθ∗(A)−Pθ^(A)| T V ( P θ ∗ , P θ ^ ) = max A | P θ
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MLE(最大似然), LMS(均方误差),KL(散度), H(交叉熵).之间的等效性证明
luixiao1220的博客
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KL散度（Kullback-Leibler Divergence，KLD）
weixin_44012667的博客
03-13 1751
对于两个离散概率分布。
MLE＜=＞ KL
weixin_43845922的博客
10-19 319
但是，在实际的最大似然估计中，我们通常使用观测数据的经验分布来代替真实分布，所以我们尝试最大化对数似然函数。这样，通过考虑两者的定义，可以看出MLE实际上是在尝试最小化模型分布与真实分布之间的KL散度。“通过考虑两者的定义，可以看出MLE实际上是在尝试最小化模型分布与真实分布之间的KL散度。，使得参数化的模型分布 Q_日尽可能接近观测数据的经验分布，从而最小化它们之间的KL散度。因此，确实，当你考虑观测数据的经验分布，并将对数似然函数乘以。这与基于经验分布的负对数似然期望是一致的，只是符号相反。
深度学习中交叉熵和KL散度和最大似然估计之间的关系
weixin_33909059的博客
03-13 420
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熵、最大似然估计（相对熵）、KL散度、交叉熵相互关系及代码计算
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hmm模型matlab代码-ml_tools:用Matlab编写的机器学习工具（主要是GMM和HMM）的编译
05-27
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下面的视频展示了KL散度随着分布变化而带来的差异，具体地，固定分布1（红色曲线），改变分布2（蓝色曲线），可以直观地看到，两个分布差异越小，其KL散度（阴影区域面积）越小。上述例子中，我们判断序列1更接近序列0的依据是这两个序列更容易混淆，这也是建模两个分布距离的依据，即区分这两个分布的难易程度，KL散度便是一种经典的建模方式。“很简单，我把左手的硬币抛一万次，记录正反两面出现的次数，然后右手中的每个硬币都抛一万次，看哪个结果和左手的结果类似，它就最相近，这其实就是数学中的KL……包括离散和连续两种形式。
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贝叶斯原理，站在概率角度上似乎容易解释，但站在函数立场上就不那么容易了；然而，在高端数学模型中，必须要在函数和集合立场上有一套完整的概念，其迭代和运算才能有坚定的理论基础。
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1. 概念考虑某个未知的分布 p(x)，假定用一个近似的分布 q(x) 对它进行建模。如果我们使用 q(x) 来建立一个编码体系，用来把 x 的值传给接收者，那么由于我们使用了q(x)而不是真实分布p(x)，平均编码长度比用真实分布p(x)进行编码增加的信息量(单位是 nat )为： (1)这被称为分布p(x)和分布q(x)之间的相对熵(relative entr...
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相对熵（KL散度）
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1. 概念 考虑某个未知的分布 p(x)，假定用一个近似的分布 q(x) 对它进行建模。如果我们使用 q(x) 来建立一个编码体系，用来把 x 的值传给接收者，那么由于我们使用了q(x)而不是真实分布p(x)，平均编码长度比用真实分布p(x)进行编码增加的信息量(单位是 nat )为： KL(p∣∣q)=−∫p(x)lnq(x)dx−(−∫p(x)lnp(x)dx)=−∫p(x)ln[q(x)p(...
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kl散度约束
最新发布
03-29
<think>嗯，用户想了解KL散度约束的概念和实现方法。首先，我需要回忆KL散度的基本定义。根据引用[1]，KL散度是衡量两个概率分布差异的工具，数学表达式是$D_{KL}(P||Q) = \sum P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}$。而约束的话，可能是在优化问题中加入KL散度作为限制条件，比如在强化学习或变分推断中。 接下来，用户提到实现方法，可能需要具体例子。比如在强化学习中，TRPO算法使用KL散度约束来限制策略更新的幅度，确保稳定性。这时候约束的形式可能是$D_{KL}(P_{old} || P_{new}) \leq \delta$，其中$\delta$是阈值。 然后，实现这种约束通常需要优化方法，比如拉格朗日乘数法，将约束整合到目标函数中。引用[2]提到KL散度的非负性，这点在优化时很重要，确保约束的有效性。另外，在变分自编码器（VAE）中，KL散度作为正则项，约束潜在变量的分布接近先验分布，这也是一个应用场景。 还要注意KL散度的不对称性，引用[3]指出$D_{KL}(P||Q) \neq D_{KL}(Q||P)$，所以在设置约束时方向很重要。比如，约束新旧策略的KL散度方向不同会影响优化结果。 可能用户需要知道如何数学上处理这个约束，比如用近似方法或投影策略。比如在优化过程中，每一步更新后检查KL散度是否满足，如果超过阈值就进行调整。或者使用对偶梯度法处理约束。 需要确认是否要提供具体算法步骤或伪代码，比如TRPO的信任区域方法，或者VAE中的损失函数。同时，相关的问题可以涉及不同领域中的应用，如强化学习、生成模型等，以及优化时的挑战，比如计算梯度、处理非凸问题等。</think>### KL散度约束的定义与实现方法 KL散度约束是指在优化过程中将KL散度作为限制条件，用于控制两个概率分布之间的差异程度。这种约束在强化学习、变分推断和生成模型中广泛应用，确保模型更新或分布逼近的过程稳定可控[^1]。 --- #### 一、KL散度约束的定义 1. **基本形式** 给定真实分布$P$和近似分布$Q$，KL散度定义为： $$D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_{x} P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}$$ 在约束问题中，通常要求$D_{KL}(P \parallel Q) \leq \delta$，其中$\delta$是一个预设的阈值，用于限制分布$Q$与$P$的偏离程度[^3]。 2. **非对称性与方向性** KL散度具有非对称性，即$D_{KL}(P \parallel Q) \neq D_{KL}(Q \parallel P)$。因此，约束的方向需根据具体场景选择。例如： - 在强化学习中，约束新旧策略分布的KL散度$D_{KL}(\pi_{\text{old}} \parallel \pi_{\text{new}})$以防止策略突变[^2]。 - 在变分推断中，约束变分分布$Q$与真实后验$P$的KL散度以逼近目标分布[^3]。 --- #### 二、KL散度约束的实现方法 1. **拉格朗日乘数法** 将KL散度约束转化为优化问题的惩罚项。例如，目标函数可写为： $$\min_Q \mathbb{E}_{x \sim Q}[f(x)] + \lambda D_{KL}(Q \parallel P)$$ 其中$\lambda$是权衡系数，通过调整$\lambda$间接控制KL散度的大小[^3]。 2. **信任区域优化（Trust Region Policy Optimization, TRPO）** 在强化学习中，TRPO直接约束策略更新的KL散度： $$\text{maximize } \mathbb{E}_{\pi_{\text{old}}} \left[ \frac{\pi_{\text{new}}}{\pi_{\text{old}}} A \right] \quad \text{s.t. } D_{KL}(\pi_{\text{old}} \parallel \pi_{\text{new}}) \leq \delta$$ 通过二阶优化方法（如共轭梯度法）求解约束问题[^2]。 3. **变分自编码器（VAE）中的正则化** VAE的损失函数包含KL散度项，约束潜在变量分布$Q(z|x)$与先验分布$P(z)$（如标准正态分布）的差异： $$\mathcal{L} = \mathbb{E}_{z \sim Q}[\log P(x|z)] - \beta D_{KL}(Q(z|x) \parallel P(z))$$ 其中$\beta$控制正则化强度。 --- #### 三、关键实现步骤 1. **计算KL散度的梯度** 使用自动微分框架（如PyTorch、TensorFlow）直接计算$D_{KL}$的梯度，或在闭式解中代入分布参数（如高斯分布的均值和方差）。 2. **约束投影法** 在每次参数更新后，将结果投影到满足$D_{KL} \leq \delta$的最近点。例如，在策略优化中限制策略网络的输出分布。 3. **自适应阈值调整** 动态调整$\delta$或$\lambda$以平衡优化目标与约束条件。例如，当约束难以满足时放宽阈值。 ---
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