34章 NP完全

1、P问题

P ={ L ∈{0,1}*: 存在一个算法A,可以在多项式时间内判定L}

P也是能在多项式内被接受的语言类

P = {L : L能被一个多项式时间算法所接受}

PATH = {<G, u, v, k>: G = （V,E）是一个无向图，u,v  ∈ V, k >= 0是一个整数，即G中从u到v存在一条长度至多为k的路径}

是P问题，可以在多项式时间内被接受

2、NP问题

复杂类NP是能被一个多项式时间算法验证的语言类

区别：P是判定，存在一个多项式算法，NP是判定，即存在一个算法可以在多项式时间内验证一个解是否正确。

3、NP完全（NPC）

一个问题是NPC表示：

1） 它是一个NP问题

2）其他属于NP的问题都可归约成它。

可归约是指对每个问题L，总有一个多项式时间多对一的变换，即一个决定性的算法可以将实例l ∈ L转化成实例c ∈ C.并让c回答yes当且仅当此答案对l也是yes

为了证明某个问题A实际上是NPC问题，必须找出一个已知的NPC问题可以变换成A

NPC问题：

1）布尔公式可满足性

SAT = {<Φ>: Φ是一个可满足的布尔公式}

2）3-CNF ：3合取范式

3CNF形式的布尔公式的可满足性问题

3）电路可满足性问题

CIRCUIT-SAT = {<C> : C是一个可满足的布尔组合电路}

4）团问题 是关于寻找图中规模最大的团的最优化问题

CLIQUE = {<G, k> : G是一个包含规模为k的团的图}

5）顶点覆盖问题，顶点覆盖的规模是指它所包含的顶点数

VERTEX-CORVER = {<G, k>: 图G有一个规模为k的顶点覆盖}

6）哈密顿回路问题  哈密顿回路是通过V中每个顶点的简单回路

HAM-CYCLE = {<G>: G是哈密顿图}，存在哈密顿回路的图

7）旅行商问题

TSP = {<G, c, k>: G = （V, E）是一个完全图，c是V*V->Z上的一个函数，k ∈ Z, G中包含一个最大花费为k的旅行回路 }

8）子集和问题

SUBSET-SUM = {<S, t>： 存在一个子集S' ∈ S， 使得t  = Σs s ∈ S'}

9）子图同构问题: 两个无向图G1， G2，G1是否与G2的一个子图同构

10）背包问题

11）图着色问题

给定一个无向图G＝（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的K值。