nyoj-176 整数划分（二） dp

最新推荐文章于 2022-07-02 11:39:54 发布

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本文介绍了一种解决整数划分问题的算法，并给出了详细的代码实现。通过递推公式 (n,m)=(n-1,m-1)+(n-m,m)，实现了对任意正整数m进行n个正整数之和的有效计算。

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题目链接

整数划分（二）

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难度： 3

描述

把一个正整数m分成n个正整数的和，有多少种分法？

例：把5分成3个正正数的和，有两种分法：

1 1 3

1 2 2

输入

第一行是一个整数T表示共有T组测试数据(T<=50)
每组测试数据都是两个正整数m,n，其中(1<=n<=m<=100),分别表示要拆分的正数和拆分的正整数的个数。

输出

输出拆分的方法的数目。

样例输入

2
5 2
5 3

样例输出

2
2

来源

[张云聪]原创

暴力应该会炸吧（听说）。

首先对于划分(n,m)，其结果可分为含有1和不含有1

例如对于6分解为3组 (6,3) 有 1,1,4 1,2,3 2,2,2

其中1,1,4 1,2,3为含有1的， 2,2,2为不含有1的。

这样分有什么用呢？

显然如果对含有1的分法，去掉一个1后变为 1,4 和2,3。这就变成了(5,2)，也就是说 (6,3) 有一部分可以有(5,2)得来

对于不含有1的分法，我们可以同时减去1变成 1,1,1 这就变成了(3,3)

也就是说 (6,3)=(5,2)+(3,3)

那么对于(5,2)，(3,3)均可应用上面的递推得到他的表示，直到(1,1)=1

从而得到 (n,m)=(n-1,m-1)+(n-m,m)

这样递推式就出来了

然后你想递归也好dp也好都可以了

代码如下

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<functional>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn = (int)(1e5) + 100;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 2520;
const double eps = 1e-3;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
int dp[111][111];
int main() {
	//freopen("E:\\test.txt", "r", stdin);
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[1][1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 100; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j];
		}
	}
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		int n, x;
		scanf("%d%d", &n, &x);
		printf("%d\n", dp[n][x]);
	}
	return 0;
}