满二叉树中任意两个结点的公共祖先

本文介绍了一种求解满二叉树中两结点最近公共祖先(LCA)的算法。通过不断将较大的结点编号除以2,直至两结点编号相同,即找到最近公共祖先。

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题目

有一棵无穷大的满二叉树,其结点按根结点一层一层地从左往右依次编号,根结点编号为1。现在有两个结点a,b,求出a和b点的最近公共祖先的编号。

分析

满二叉树的子节点与父节点之间的关系为root = child / 2 ,如果a != b,就让其中的较大数除以2, 如此循环直到a == b, 即是原来两个数的最近公共祖先。

class LCA {
public:
    int getLCA(int a, int b) {
        // write code here
        while(a != b){
            if(a > b)
                a /= 2;
            else
                b /= 2;
        }
        return a;
    }
};
### 查找二叉树中两个节点的最近公共祖先 对于给定的一棵二叉树(不一定是二叉搜索树),要找到其中任意两个节点 `p` 和 `q` 的最近公共祖先 (Lowest Common Ancestor, LCA),可以采用递归的方式解决这个问题。下面是一个基于 C 语言的具体实现方案。 #### 定义二叉树结构体 为了便于操作,先定义一个简单的二叉树结点结构: ```c typedef struct TreeNode { int val; struct TreeNode *left; struct TreeNode *right; } TreeNode; ``` #### 寻找路径函数 创建辅助函数用于寻找从根到特定节点的所有路径上的节点,并存储在一个数组里。此过程会返回是否找到了指定的目标节点。 ```c bool findPath(TreeNode* root, int target, std::vector<TreeNode*>& path) { if (!root) return false; // 将当前访问过的节点加入路径列表 path.push_back(root); // 如果到达目标则成功结束 if (root->val == target) return true; // 向左右子树继续探索 if ((root->left && findPath(root->left, target, path)) || (root->right && findPath(root->right, target, path))) return true; // 若未发现,则移除最后添加进去的那个元素并回溯回去尝试其他分支 path.pop_back(); return false; } ``` #### 计算最低共同祖先 通过比较两条不同路径来确定它们首次分岔的位置即为所求的LCA位置。 ```c TreeNode* getLowestCommonAncestor(TreeNode* root, int p, int q) { std::vector<TreeNode*> pathToP, pathToQ; // 获取两者的完整路径 bool foundP = findPath(root, p, pathToP); bool foundQ = findPath(root, q, pathToQ); // 至少有一个不存在的情况处理 if (!foundP || !foundQ) return nullptr; size_t i; // 找到最后相同的那个节点作为LCA for(i = 0; i < pathToP.size() && i < pathToQ.size(); ++i){ if(pathToP[i] != pathToQ[i]) break; } return i ? pathToP[i-1] : NULL; } ``` 上述代码实现了在一般情况下查找两个节点之间最低公共祖先的功能[^2]。需要注意的是,在实际应用时还需要考虑边界条件和其他特殊情况下的鲁棒性设计。
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