Generate Parentheses

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Question  Solution 

Total Accepted: 57885  Total Submissions: 176392  Difficulty: Medium

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

For example, given n = 3, a solution set is:

"((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"




一.开始打算用动态规划自底向上的算法，也就是第n个的所有括号数，按照左括号开始的数目进行枚举，后面插入需

要补充的括号数，代码，如下，但是忽略了一种情况

分析了下此方法较复杂，放弃。

class Solution {
public:
    vector<string> generateParenthesis(int n) {
		if(!n){ vector<string> ve; return ve;}
        vector<string> * vectors = new vector<string> [n];
		for(int ve = 0; ve < n; ve ++)
		{
			for( int l_num = ve + 1; l_num > 0; l_num --)
			{
				string str_pre;
				for( int il_num = 0; il_num < l_num; il_num ++)
					str_pre.append("(");
				str_pre.append(")");
				int sub_num = ve + 1 - l_num;
				if( !sub_num) //有需要补充的子括号数
				{
					string str = str_pre;
					for( int ir_num = 0; ir_num < l_num -1; ir_num ++)
						str.append(")");
					vectors[ve].push_back(str);
				}else
				{
					//插在内部
					for( vector<string>::iterator ite = vectors[sub_num - 1].begin();ite != vectors[sub_num - 1].end(); ite ++)
					{
						string str = str_pre;
						str.append(*ite);
						for( int ir_num = 0; ir_num < l_num -1; ir_num ++)
							str.append(")");
						vectors[ve].push_back(str);
					}
					//插在外部
					for( int wair_num = 1;wair_num <= l_num - 1; wair_num ++ )
					{
						for( vector<string>::iterator ite = vectors[sub_num - 1].begin();ite != vectors[sub_num - 1].end(); ite ++)
						{
							string str = str_pre;
							for( int ir_num = 0; ir_num < wair_num; ir_num ++)
								str.append(")");
							str.append(*ite);
							for( int ir_num = 0; ir_num < l_num-1-wair_num; ir_num ++)
								str.append(")");
							vectors[ve].push_back(str);
						}
					}
				}
			}
		}
		//释放多余内存
		for(int i = 0; i < n-1; i++)
			vectors[i].clear();
		return vectors[n-1];	
    }
};

二.网上看了某人的算法，所谓的 卡特兰数，代码非常简单，就是建一个二叉树，然后深度搜索，要求每次分支，已经画的左括号数必须大于

右括号数，都画完时返回，代码如下：

class Solution {
public:
    vector<string> generateParenthesis(int n) {
		vector<string> re;
		if(!n)
			return re;
		string str = "";
        generate(re,n,n,str);
		return re;
    }
	void generate(vector<string> &re,int left,int right,string str)
	{
		if( left == 0 && right == 0)
			re.push_back(str);
		if( left > 0)
			generate( re, left - 1, right, str +"(");
		if( right > left && right > 0)
			generate( re, left, right - 1, str + ")");
		return;
	}
};

三.  卡特兰数应用例子：（引用网上例子

入栈出栈顺序问题：给定一个长度为n的不重复数组，求所有可能的入栈出栈顺序。该问题解的个数也是卡特兰数，根据上面的思路，我们也

可以写出一个类似的代码：

[cpp]  view plain copy print ?

1. void inoutstack(int in,int out,deque<int> &q,stack<int> &s,deque<int> seq,vector<deque<int>> &result)  
2.     {  
3.         if(!in&&!out)  
4.         {  
5.             result.push_back(q);  
6.             return;  
7.         }  
8.   
9.         if(in>0)  
10.         {  
11.             s.push(seq.front());  
12.             seq.pop_front();  
13.             inoutstack(in-1,out,q,s,seq,result);  
14.             seq.push_front(s.top());  
15.             s.pop();  
16.         }  
17.   
18.         if(out>0&&in<out)  
19.         {  
20.             q.push_back(s.top());  
21.             s.pop();  
22.             inoutstack(in,out-1,q,s,seq,result);  
23.             s.push(q.back());  
24.             q.pop_back();  
25.         }  
26.     }  

上述代码由于采用了栈和队列模仿整个过程，所以显得略微复杂，但是代码的基本结构还是符合一个类似的基本规则：在某一个特定时刻，入

栈的次数大于或者等于出栈的次数。在生成括号的问题中，我们利用一个string来保存结果，由于打印左括号时不影响打印右括号，所以无需复

杂的状态恢复。在入栈出栈顺序问题中，由于两次递归调用共享同一个栈和队列，所以我们需要手动恢复其内容。在恢复时，队列会从头部删

除和添加，所以我们采用了deque，它可以在头部添加和删除元素。queue只能在头部删除元素，所以没有采用。
中文:卡特兰数
　　Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·

卡塔兰 ( 1814 – 1894 )命名。
　　原理：
　　令h( 0 ) = 1 ,h( 1 )＝ 1 ,catalan数满足递归式：
　　h(n) =  h( 0 ) * h(n - 1 )  +  h( 1 ) * h(n - 2 )  +    +  h(n - 1 )h( 0 ) (其中n >= 2 )
　　该递推关系的解为：
　　h(n) = C(2n,n) / (n  +   1 ) (n = 1 , 2 , 3 ,)
       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前几项为 （OEIS中的数列A000108）:  1 ,  1 ,  2 ,  5 ,  14 ,  42 ,  132 ,  429 ,  1430 ,  4862 ,  16796 , 

58786 ,  208012 ,  742900 , 

2674440 ,  9694845 ,  35357670 ,  129644790 ,  477638700 ,  1767263190 ,  6564120420 , 

24466267020 ,  91482563640 ,  343059613650 ,  1289904147324 ,  4861946401452 , 
应用

　　我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能

分解问题写出递归式了）
1 .括号化问题。

　　矩阵链乘： P = a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的

乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2 .出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1, 2 , 3 ,..n,有多少个不同的出栈序列 ?
　　类似：
　　( 1 )有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有

10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票

找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　( 2 )在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。
3 .将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数 ?
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班

。如果她
　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数 ?
4 .给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
　　(一定是二叉树 !
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N - 1个相对应的,右边是N - 1到0个,两两配对相乘,

就是h( 0 ) * h(n - 1 )  +  h( 2 ) * h(n - 2 )  +    +  h(n - 1 )h( 0 ) = h(n))
　　（能构成h（N）个）