P3952 [NOIP2017 提高组] 时间复杂度

题目背景

NOIP2017 提高组 D1T2

题目描述

小明正在学习一种新的编程语言 A++,刚学会循环语句的他激动地写了好多程序并 给出了他自己算出的时间复杂度,可他的编程老师实在不想一个一个检查小明的程序, 于是你的机会来啦!下面请你编写程序来判断小明对他的每个程序给出的时间复杂度是否正确。

A++语言的循环结构如下:

F i x y
    循环体
E

其中F i x y表示新建变量 i(变量 i 不可与未被销毁的变量重名)并初始化为 x, 然后判断 i 和 y 的大小关系,若 i 小于等于 y 则进入循环,否则不进入。每次循环结束后 i 都会被修改成 i+1,一旦 i 大于 y 终止循环。

x 和 y 可以是正整数(x 和 y 的大小关系不定)或变量 n。n 是一个表示数据规模的变量,在时间复杂度计算中需保留该变量而不能将其视为常数,该数远大于 100。

E 表示循环体结束。循环体结束时,这个循环体新建的变量也被销毁。

注:本题中为了书写方便,在描述复杂度时,使用大写英文字母 O⁡ 表示通常意义下 Θ 的概念。

输入格式

输入文件第一行一个正整数 t,表示有 t(t≤10)个程序需要计算时间复杂度。 每个程序我们只需抽取其中 F i x y 和 E 即可计算时间复杂度。注意:循环结构允许嵌套。

接下来每个程序的第一行包含一个正整数 L 和一个字符串,L 代表程序行数,字符串表示这个程序的复杂度,O(1) 表示常数复杂度,O(n^w) 表示复杂度为 nw,其中 w 是一个小于 100 的正整数,输入保证复杂度只有 O(1) 和 O(n^w) 两种类型。

接下来 L 行代表程序中循环结构中的F i x y或者 E。 程序行若以F开头,表示进入一个循环,之后有空格分离的三个字符(串)i x y, 其中 i 是一个小写字母(保证不为nn),表示新建的变量名,x 和 y 可能是正整数或 nn ,已知若为正整数则一定小于 100。

程序行若以E开头,则表示循环体结束。

输出格式

输出文件共 tt 行,对应输入的 t 个程序,每行输出 Yes 或 No 或者 ERR,若程序实际复杂度与输入给出的复杂度一致则输出 Yes,不一致则输出 No,若程序有语法错误(其中语法错误只有: ① F 和 E 不匹配 ②新建的变量与已经存在但未被销毁的变量重复两种情况),则输出 ERR

注意:即使在程序不会执行的循环体中出现了语法错误也会编译错误,要输出 ERR

输入输出样例

输入 #1

8
2 O(1)
F i 1 1
E
2 O(n^1)
F x 1 n
E
1 O(1)
F x 1 n
4 O(n^2)
F x 5 n
F y 10 n
E
E
4 O(n^2)
F x 9 n
E
F y 2 n
E
4 O(n^1)
F x 9 n
F y n 4
E
E
4 O(1)
F y n 4
F x 9 n
E
E
4 O(n^2)
F x 1 n
F x 1 10
E
E

输出 #1

Yes
Yes
ERR
Yes
No
Yes
Yes
ERR

说明/提示

【输入输出样例解释 1】

第一个程序 i 从 1 到 1 是常数复杂度。

第二个程序 x 从 1 到 n 是 n 的一次方的复杂度。

第三个程序有一个 F 开启循环却没有 E 结束,语法错误。

第四个程序二重循环,n 的平方的复杂度。

第五个程序两个一重循环,n 的一次方的复杂度。

第六个程序第一重循环正常,但第二重循环开始即终止(因为 n 远大于 100,100 大于 4)。

第七个程序第一重循环无法进入,故为常数复杂度。

第八个程序第二重循环中的变量 xx 与第一重循环中的变量重复,出现语法错误②,输出 ERR

【数据规模与约定】

对于 30% 的数据:不存在语法错误,数据保证小明给出的每个程序的前 L/2 行一定为以 F 开头的语句,第 L/2+1 行至第 L 行一定为以 E 开头的语句,L≤10,若 x、y 均为整数,x 一定小于 y,且只有 y 有可能为 n。

对于 50% 的数据:不存在语法错误,L≤100,且若 x、y 均为整数,x 一定小于 y, 且只有 y 有可能为 n。

对于 70% 的数据:不存在语法错误,L≤100。

对于 100% 的数据:L≤100。

解题思路见注释

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,num;
string str,s1,s2,s3;
char s;

void solve(){
	cin>>m>>str;
	
	//给定的时间复杂度的计算 
	int w; 
	if(str.size()>4)
	    for(int i=4;i<str.size()-1;i++) w=w*10+str[i]-'0';
	else w=0;
	
	//在线处理语句 
	int cnt1=0,cnt2=0,maxx=0; //顺序n循环次数 倒序n循环次数 实际的复杂度
	stack<int> st1;         //记录具体的循环 0为常数循环 1为正序 -1为倒序 		int vis[300]={0};       //记录变量是否出现过
	stack<char> st2;        //记录具体出现的变量
	int vis[300]={0};       //标记变量是否出现过 
	int flag=1;             //标记是否存在语法错误 
	
	while(m--){
		cin>>s; //先读 F /E 
		if(s=='F'){
		    cin>>s1>>s2>>s3;
		    //判断变量合法性 
			if(vis[s1[0]-'a'])	flag=0; //若已出现过 则语法错误 
			else{
				st2.push(s1[0]);
			    vis[s1[0]-'a']=1;
			}
			if(!flag) continue;
			//判断循环类型 
			if(s2!="n"){
				if(s3=="n") st1.push(1),cnt1++;
				else if(stod(s2)<=stod(s3)) st1.push(0);
				else st1.push(-1),cnt2++;
			}
			else{
				if(s3=="n") st1.push(0);
				else st1.push(-1),cnt2++;
			}
		}
		else{
			if(st1.empty()) flag=0; //栈空 匹配失败 
			else{
				//更新循环语句复杂度 
				if(cnt2==0) maxx=max(maxx,cnt1);
				//若存在倒序语句 之后的循环都无法就进入 
				//所以只有在pop掉所有的倒序语句后才能更新计算出的复杂度 
				//只有在无倒序语句时 才能计算复杂度 
				if(st1.top()>=0) cnt1-=st1.top();
				else cnt2--; //倒序循环直接pop掉 自减即可 
				st1.pop();
				//更新变量的栈 
				vis[st2.top()-'a']=0;
				st2.pop(); 
			} 
		}
	}
	if(!st1.empty()) flag=0; //数量匹配不对等 标记错误 

	if(!flag) cout<<"ERR"<<endl;
	else if(maxx==w) cout<<"Yes"<<endl;
	else cout<<"No"<<endl;
}

int main(){
	cin>>n;
	while(n--) solve();
	return 0;
}

### NOIP2017 提高 列队 问题 解题思路 #### 问题描述 给定一个 n 行 m 列的矩阵,初始时每个位置都有一个人。有 q 次操作,每次操作给出两个人的位置 (x, y),表示这个人离开了队伍。离开的人会重新站在最后一列的最后一行。需要支持这些操作并能快速查询某个人当前所在的位置。 #### 数据结构选择 为了高效处理上述操作,可以采用动态开点线段树来管理行列中的人员变动情况[^2]。具体来说: - 对于每一行建立一棵线段树用于记录该行内成员的具体分布状况; - 另外再单独设立一颗针对最右侧一列的全局线段树负责追踪所有被移至末端的新成员; 通过这种方式可以在 O(logN) 的时间复杂度下完成单次更新以及定位请求。 #### 关键算法逻辑 当执行一次删除动作 `(x,y)` 后: - 需要先将原位于此处的目标个体从对应行内的局部线段树中剔除出去; - 接着把原本处于 `x` 行末尾的那个元素补充进来填补空缺,并相应调整其在线段树里的状态; - 最后再把这个已经被挤出来的对象追加到整体序列最后面的一列上,同样利用相应的数据结构保持有序性。 以下是 Python 实现代码片段展示如何构建此类解决方案: ```python from collections import defaultdict class SegmentTree: def __init__(self, size): self.tree = [defaultdict(int)] * (size << 2) def update(self, idx, val, node=1, start=0, end=None): if not end: end = len(self.tree) >> 2 if start == end: self.tree[node][idx] += val else: mid = (start + end) >> 1 if idx <= mid: self.update(idx, val, node << 1, start, mid) else: self.update(idx, val, (node << 1) | 1, mid + 1, end) self.push_up(node) def push_up(self, node): pass # Implement according to specific requirements def main(): n, m, q = map(int, input().split()) row_trees = [SegmentTree(m) for _ in range(n)] col_tree = SegmentTree(n*m-n+1) changes = [] while q > 0: x, y = map(lambda z: int(z)-1, input().split()) # Convert from 1-based index last_in_row = m - 1 removed_val = row_trees[x].query(y, y)[y] row_trees[x].update(y, -1) if y != last_in_row: moved_from_end_of_row = row_trees[x].query(last_in_row, last_in_row)[last_in_row] row_trees[x].update(last_in_row, -1) row_trees[x].update(y, moved_from_end_of_row) new_pos_at_last_col = col_tree.query(col_tree.size()-len(changes), col_tree.size())[col_tree.size()-len(changes)] col_tree.update(len(changes)+1, removed_val) changes.append((new_pos_at_last_col//m + 1, new_pos_at_last_col % m)) q -= 1 if __name__ == "__main__": main() ```
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