51nod 1556 计算

默慈金数的应用

在一个“网格”上，若限定“每步只能向右移动一格(可以向右上、右下横向向右)，并禁止移动到y=0以下的地方”，则以这种走法用n步从(0,0)移动至(n,0)的可能形成的路径的总数为n的默慈金数。

初始状态：

M[0]=1
M[1]=1
M[2]=2
递推公式：
M[n+1]=((2n+3)*M[n]+3n*M[n-1])/(n+3)

直接计算比较困难，可以计算出全部种数3^(n-1)，再减去错误走法

利用默慈金数，可以计算出(1,1)走到(1,x)的合法走法的种数。假设下一步往下走，那么不论之后再怎么走，肯定是错误走法。遍历x的所有情况，减去错误走法，即可得到答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long mod=1e9+7;
const int MAXN=1000100;
long long m[MAXN];

long long powmod(long long x,long long p)
{
	long long ret=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)
			ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod;
		p>>=1;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	long long i,n,ans;
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
		m[0]=1;	m[1]=1;	m[2]=2;
		for(i=2;i<n;i++)
		{
			m[i+1]=((2*i+3)*m[i]+3*i*m[i-1])%mod*powmod(i+3,mod-2)%mod;
		}
		ans=powmod(3,n-1);
		for(i=1;i<n;i++)
		{
			ans=((ans-m[i-1]*powmod(3,n-i-1)%mod)%mod+mod)%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}