B树详解与操作-优快云博客

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B-tree即B树，B即Balance，平衡的意思。B-树是一种多路搜索树(并不一定是二叉的)。

当查找的文件较大，且存放在磁盘等直接存取设备中时，为了减少查找过程中对磁盘的读写次数，提高查找效率，基于直接存取设备的读写操作以"页"为单位的特征。

1970年，R.Bayer和E.M.McCreight提出了一种称之为B-树的多路平衡查找树，在文件系统中有所应用，主要用作文件的索引。它是一种平衡的多叉树，称为B树(或B-树、B_树)，适合在磁盘等直接存取设备上组织动态的查找表。

1、B-树(B树)的基本概念

B-树中所有结点中孩子结点个数的最大值称为B-树的阶，通常用m表示，从查找效率考虑，一般要求m>=3。

B-树(B树)结构特性

一棵m阶B-树或者是一棵空树，或者是满足以下条件的m(m>=3)叉树：

(1)根结点只有1个，关键字字数的范围[1,m-1]，分支个数取值范围[2,m]

(2)每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m

(3)每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m，即每一个叶子结点最多包含m-1个关键字

(4)所有的叶子结点都位于同一层，并且不带信息(可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空)。即所有叶子节点具有相同的深度，等于树高度。如一棵四阶B-树，其深度为4

(5)每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划

这棵三阶B-树符合上述所列的特征。

⑴树中每个结点至多有m 棵子树

⑵若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树

⑶除根结点之外的所有非叶子结点至少有[m/2] 棵子树

⑷所有的非叶子结点中包含以下信息数据：

（n，A0，K1，A1，K2，A2，…，Kn，An）

其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且k1<k2<k3...<kn，Ai 为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针A(i-1)所指子树中所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的关键码均大于Kn。

n为关键码的个数。

2、B-树的基本操作-查找介绍

B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。

给出如下的一棵4阶(B-树中所有结点中孩子结点个数的最大值)的B-树结构：

这是一个4阶的B-树，假设需要查找45这个数是否在B-树中。

1）从根结点出发，发现根结点a有1个关键字为35，其中45>35，往右子树走，进入结点c

2）发现结点c有2个关键字，其中43<45<78,所以进入结点g

3）发现结点g有3个关键字，其中3<45<47,所以继续往下走，发现进入了结束符结点：F，所以45不在B-树中

从上述的查找的过程可以得出，在B-树的查找过程为：

1）B-树中查找结点

2）在结点中查找关键字

由于B- 树通常存储在磁盘上，则前一查找操作是在磁盘上进行的，而后一查找操作是在内存中进行的，即在磁盘上找到指针p 所指结点后，先将结点中的信息读入内存，然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K 的关键字。显然，在磁盘上进行一次查找比在内存中进行一次查找的时间消耗多得多。

因此，在磁盘上进行查找的次数、即待查找关键字所在结点在B-树上的层次数，是决定B树查找效率的首要因素，对于有n个关键字的m阶B-树，从根结点到关键字所在结点的路径上路过的结点数不超过：

3、B-树的插入

B-树的插入，主要分为如下两个步骤：

1）使用查找算法查找出关键字的插入位置，如果在B-树中查找到了关键字，则直接返回。否则，它一定会失败在某个最底层的终端结点上。

2）然后，判断那个终端结点上的关键字数量是否满足：n<=m-1,如果满足的话，直接在该终端结点上添加一个关键字，否则，需要产生结点的“分裂”。

分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和需要插入的值key按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

举例说明，假设这个B-树的阶为：3。树的初始化时如下：