【拾遗补阙】进制转换

【拾遗补阙】进制转换

p1017–NOIP2000进制转换

题目描述

我们可以用这样的方式来表示一个十进制数： 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置的值减1为指数，以10为底数的幂之和的形式。例如：123可表示为 1102＋2101＋3100这样的形式。
与之相似的，对二进制数来说，也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置的值-1为指数，以2为底数的幂之和的形式。一般说来，任何一个正整数Ｒ或一个负整数-Ｒ都可以被选来，作为一个数制系统的基数。如果是以Ｒ或-Ｒ为基数，则需要用到的数码为 0，1，．．．．Ｒ-1。例如，当Ｒ＝7时，所需用到的数码是0，1，2，3，4，5和6，这与其是Ｒ或-Ｒ无关。如果作为基数的数绝对值超过10，则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于9的数码。例如对16进制数来说，用Ａ表示10，用Ｂ表示11，用Ｃ表示12，用Ｄ表示13，用Ｅ表示14，用Ｆ表示15。
在负进制数中是用-Ｒ 作为基数，例如-15(十进制)相当于110001(-2进制)，并且它可以被表示为2的幂级数的和数：
110001＝1(-2)5＋1*(-2)4＋0*(-2)3＋0*(-2)2＋0*(-2)1 ＋1*(-2)0
设计一个程序，读入一个十进制数和一个负进制数的基数, 并将此十进制数转换为此负进制下的数：-Ｒ∈｛-2，-3，-4，．．．，-20｝
输入描述:
第一个是十进制数N(-32768 ≤ N ≤ 32767)； 第二个是负进制数的基数-R。
输出描述:
输出此负进制数及其基数，若此基数超过10，则参照16进制的方式处理。

• 以该问题为背景介绍一下进制转换的普遍方法：
• • 十进制转其他进制
• • 1. 除基取余法（整数部分）
• • 原理：
    将十进制数除以目标进制数（例如二进制的 2、八进制的 8、十六进制的 16 等），取余数作为目标进制数的最低位。
    然后将商继续除以目标进制数，取余数作为次低位，如此反复，直到商为 0。
    示例：将十进制数 25 转换为二进制
    25÷2 = 12 余 1，最低位是 1。
    12÷2 = 6 余 0，次低位是 0。
    6÷2 = 3 余 0，再高位是 0。
    3÷2 = 1 余 1，更高位是 1。
    1÷2 = 0 余 1，最高位是 1。
    所以 25 (10) = 11001 (2)。
• • 2. 乘基取整法（小数部分）
• • 原理：
    将十进制小数乘以目标进制的基数，取整数部分作为目标进制小数的最高位。
    然后将小数部分继续乘以目标进制的基数，取整数部分作为次高位，如此反复，直到小数部分为 0 或者达到要求的精度。
    示例：将十进制数 0.625 转换为二进制
    0.625×2 = 1.25，取整数 1，最高位是 1。
    0.25×2 = 0.5，取整数 0，次高位是 0。
    0.5×2 = 1.0，取整数 1，最低位是 1。
    所以 0.625 (10) = 0.101 (2)。
• • 其他进制转十进制
• • • 位权展开法
      原理：
      对于一个 n 位的 k 进制数，从右到左各位的位权分别是 k^0,k1,k^2,…,k(n - 1)。将每位数字乘以对应的位权，然后相加，就得到十进制数。
      示例：将二进制数 1101 转换为十进制
      1×2^0+0×21+1×2^2+1×23
      = 1×1+0×2+1×4+1×8
      = 1 + 0+4 + 8
      = 13
      所以 1101 (2) = 13 (10)。
• • 二进制、八进制、十六进制之间的转换
• • 1. 二进制转八进制
       原理：
       因为 8 = 2^3，所以可以将二进制数从右到左每 3 位一组，分别转换为八进制数。
       示例：将二进制数 1101011 转换为八进制
       001 101 011
       1 5 3
       所以 1101011 (2) = 153 (8)。
• • 2. 二进制转十六进制
       原理：
       因为 16 = 2^4，所以可以将二进制数从右到左每 4 位一组，分别转换为十六进制数（注意十六进制中 10 - 15 用 A - F 表示）。
       示例：将二进制数 1101011 转换为十六进制
       0110 1011
       6 B
       所以 1101011 (2) = 6B (16)。
• • 3. 八进制、十六进制转二进制
       原理：
       八进制数每位转换为 3 位二进制数，十六进制数每位转换为 4 位二进制数。
       示例：将十六进制数 3A 转换为二进制
       3 对应 0011，A（10）对应 1010
       所以 3A (16) = 00111010 (2)。

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解题代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,r;
    cin >> n >> r ;
    int now = n;
    string ans = "",base = "0123456789ABCDEFGHIJ";
    if(now == 0) {
        cout << n << "=0(base" << r << ")";
    }else {
        while(now) {
            int digit = now%r;
            if(digit < 0) {
                digit -= r;
                now += r;
            }
            ans = base[digit] + ans;
            now /= r;
        }
       cout << n << "=" << ans << "(base" << r << ")";
    }
}