二进制若干问题证明

最新推荐文章于 2022-09-20 14:06:15 发布

xiekch

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文章标签：二进制证明

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xiekch/article/details/79050007

本文详细阐述了二进制数的几种重要运算方法，包括负数的补码等于反码加一的证明、二进制数高位扩展时最高位填充的原则，以及二进制数转换为八进制数的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

注：此资料来源于参考答案。本人用LaTex打出。推荐使用第二种写法，大大减少LaTex的书写量。

1.证明二进制负数的补码等于反码加一

证明：
设二进制数x为n位，则有
$x_补=2^n-x$
$x=(d_0d_2d_3...d_{n-1})_2$
将x表示为十进制
$x=d_0\cdot2^0+d_1\cdot2^1+\cdots+d_{n-1}\cdot2^{n-1}$
其中 $d_i\in\{0,1\}$
$x_反=(1-d_0)\cdot2^0+(1-d_1)\cdot2^1+\cdots+(1-d_{n-1})\cdot2^{n-1}$
$x_反+1=(1-d_0)\cdot2^0+(1-d_1)\cdot2^1+\cdots+(1-d_{n-1})\cdot2^{n-1}+1\\=1+2^0+2^1+\cdots+2^{n-1}-(d_0\cdot2^0+\cdots+d_{n-1}\cdot2^{n-1})\\=2^n-x\\=x_补$
证毕。

另一种写法：
证明：
设二进制数x为n位，则有
$x_补=2^n-x$
$x=(d_0d_2d_3...d_{n-1})_2$
将x表示为十进制
$x=\sum_{i=0}^{n-1} d_i\cdot2^i$
其中 $d_i\in\{0,1\}$
$x_反=\sum_{i=0}^{n-1} (1-d_i)\cdot2^i$
$x_反+1=\sum_{i=0}^{n-1} (1-d_i)\cdot2^i+1\\=\sum_{i=0}^{n-1}2^i+1-\sum_{i=0}^{n-1} d_i\cdot2^i\\=2^n-x\\=x_补$
证毕。

2.证明二进制从低位扩展到高位可以用最高位填充

即 $x_1=(x_0x_1\ldots x_{n-1})_2=x_2=(x_0x_0\ldots x_0x_1\ldots x_{n-1})_2$
证明：
（1）当x为正数时，显然成立
（2）当x为负数时 $x_0=1$ ，有
$x_1=2^n-{x_补}_n\\=2^n-(x_0\cdot2^{n-1}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)$
$x_2=2^m-{x_补}_m\\=2^m-(x_0\cdot2^{m-1}+x_0\cdot2^{m-2}+\cdots+x_0\cdot2^n+x_0\cdot2^{n-1}+x_1\cdot2^{n-2}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)\\=2^m-(2^m-2^n)-(x_0\cdot2^{n-1}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)\\=2^n-(x_0\cdot2^{n-1}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)$
$\therefore x_1=x_2$
证毕。

另一种写法：
证明：
（1）当x为正数时，显然成立
（2）当x为负数时 $x_0=1$ ，有
$x_1=2^n-{x_补}_n\\=2^n-\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i}$
$x_2=2^m-{x_补}_m\\=2^m-(\sum_{i=n}^{m-1} 2^i+\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i})\\=2^m-(2^m-2^n)-(\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i})\\=2^n-(\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i})$
$\therefore x_1=x_2$
证毕。

3.证明二进制可以从最低位每三位转化为八进制

证明：
$x=(d_{n-1}\cdots d_0)_2$
将x表示为十进制：
$x=\sum_{i=0}^{n-1} d_i2^i$
将x高位补零对齐到3的倍数：
$x=\sum_{i=0}^{3k} d_i2^i,k=\lceil n/3\rceil$
$x=\sum_{i=0}^k (d_{3i}2^{3i}+d_{3i+1}2^{3i+1}+d_{3i+2}2^{3i+2})\\=\sum_{i=0}^k 2^{3i}(d_{3i}+d_{3i+1}+d_{3i+2})\\=\sum_{i=0}^k w_i8^i$
证毕。

源码

# 1.证明二进制负数的补码等于反码加一
证明：
设二进制数x为n位，则有
$x_补=2^n-x$
$x=(d_0d_2d_3...d_{n-1})_2$
将x表示为十进制
$x=d_0\cdot2^0+d_1\cdot2^1+\cdots+d_{n-1}\cdot2^{n-1}$
其中$d_i\in\{0,1\}$
$x_反=(1-d_0)\cdot2^0+(1-d_1)\cdot2^1+\cdots+(1-d_{n-1})\cdot2^{n-1}$
$x_反+1=(1-d_0)\cdot2^0+(1-d_1)\cdot2^1+\cdots+(1-d_{n-1})\cdot2^{n-1}+1\\=1+2^0+2^1+\cdots+2^{n-1}-(d_0\cdot2^0+\cdots+d_{n-1}\cdot2^{n-1})\\=2^n-x\\=x_补$
证毕。

另一种写法：
证明：
设二进制数x为n位，则有
$x_补=2^n-x$
$x=(d_0d_2d_3...d_{n-1})_2$
将x表示为十进制
$x=\sum_{i=0}^{n-1} d_i\cdot2^i$
其中$d_i\in\{0,1\}$
$x_反=\sum_{i=0}^{n-1} (1-d_i)\cdot2^i$
$x_反+1=\sum_{i=0}^{n-1} (1-d_i)\cdot2^i+1\\=\sum_{i=0}^{n-1}2^i+1-\sum_{i=0}^{n-1} d_i\cdot2^i\\=2^n-x\\=x_补$
证毕。

# 2.证明二进制从低位扩展到高位可以用最高位填充
即$x_1=(x_0x_1\ldots x_{n-1})_2=x_2=(x_0x_0\ldots x_0x_1\ldots x_{n-1})_2$
证明：
（1）当x为正数时，显然成立
（2）当x为负数时$x_0=1$，有
$x_1=2^n-{x_补}_n\\=2^n-(x_0\cdot2^{n-1}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)$
$x_2=2^m-{x_补}_m\\=2^m-(x_0\cdot2^{m-1}+x_0\cdot2^{m-2}+\cdots+x_0\cdot2^n+x_0\cdot2^{n-1}+x_1\cdot2^{n-2}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)\\=2^m-(2^m-2^n)-(x_0\cdot2^{n-1}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)\\=2^n-(x_0\cdot2^{n-1}+\cdots+x_{n-1}\cdot2^0)$
$\therefore x_1=x_2$
证毕。

另一种写法：
证明：
（1）当x为正数时，显然成立
（2）当x为负数时$x_0=1$，有
$x_1=2^n-{x_补}_n\\=2^n-\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i}$
$x_2=2^m-{x_补}_m\\=2^m-(\sum_{i=n}^{m-1} 2^i+\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i})\\=2^m-(2^m-2^n)-(\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i})\\=2^n-(\sum_{i=0}^{n-1} x_i\cdot2^{n-1-i})$
$\therefore x_1=x_2$
证毕。

# 3.证明二进制可以从最低位每三位转化为八进制
证明：
$x=(d_{n-1}\cdots d_0)_2$
将x表示为十进制：
$x=\sum_{i=0}^{n-1} d_i2^i$
将x高位补零对齐到3的倍数：
$x=\sum_{i=0}^{3k} d_i2^i,k=\lceil n/3\rceil$
$x=\sum_{i=0}^k (d_{3i}2^{3i}+d_{3i+1}2^{3i+1}+d_{3i+2}2^{3i+2})\\=\sum_{i=0}^k 2^{3i}(d_{3i}+d_{3i+1}+d_{3i+2})\\=\sum_{i=0}^k w_i8^i$
证毕。