奶牛编号（推荐）

最新推荐文章于 2020-08-13 15:51:17 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-13 15:51:17 发布 · 2k 阅读

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Description

作为一个神秘的电脑高手，Farmer John 用二进制数字标识他的奶牛。 
然而，他有点迷信，标识奶牛用的二进制数字，必须只含有K位“1” (1 <= K <= 10)。 当然，每个标识数字的首位必须为“1”。 
FJ按递增的顺序，安排标识数字，开始是最小可行的标识数字（由“1”组成的一个K位数）。 
不幸的是，他没有记录下标识数字。请帮他计算，第N个标识数字 (1 <= N <= 10^7)。

分析

考场上漏掉了这道水题，没有仔细琢磨一下规律，而是花了大量时间放在第2题上。

方法一,时间O(len*k)：

我们的大致的思想就是根据m和n的限制直接构造第n个数
我们可以二分一个长度len，使得在这个长度之内放k位1的方案数>=n的最小的len。
如何算呢？其实就是组合数！ $dat(len-1)=\sum_{i=1}^{i<=len-1} C(i,k-1)$ .
减一是因为不包括这一位的选法。
而二分完后我们就要将这个问题转化成子问题，这是关键，否则这将无法在根本上解决这个问题。
如何转化成子问题呢？
也就是我们如何选下一个1的位置呢？结果就是上面的解法，但关键在如何求出新的n
因为我们选的len一定有dat(len-1)>n，也就是由长度1..len-1组成的数的答案。
然而因为len是最小的满足dat(len-1)>n，所以也就是说dat(len-2)一旦加上了由len-1组成的答案就大于n了。
我们只需要算出n只在由len-1长度组成的这段的答案就行了（不算之前len-2..1的长度的答案）
就是新的n=n-dat(len-2).
这样一步步转化成子问题，在这个途中我们算的都是除去其它长度构成的答案，所以这样是对的。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1000;
ll n,m;
ll c[N][N],sum[N][N];
ll C(int x,int y){
    return c[x+1][y+1];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n==1) {
        for(int i=1;i<=m;i++) printf("1");
        return 0;
    }
    if (m==1){
        printf("1");
        for(int i=1;i<=n-1;i++) printf("0");
        return 0;
    }
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
       for(int j=1;j<=12;j++) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    for(int i=0;i<=N;i++)
       for(int j=0;j<=12;j++)
          for(int k=0;k<=i;k++) sum[i][j]+=C(k,j);
    int l=1,r=N;int mid;
    while (l<r){
        mid=(l+r)>>1;
        if (sum[mid-1][m-1]>=n) r=mid;else l=mid+1;
    }
    int len=l-1;
    n-=sum[l-2][m-1];
    printf("1");
    for(int i=m-1;i>0;i--){
        l=1,r=len;
        while (l<r){
            mid=(l+r)>>1;
            if (sum[mid-1][i-1]>=n) r=mid;else l=mid+1;
        }
        for(int j=len;j>l;j--) printf("0");
        printf("1");
        len=l-1;
        n-=sum[l-2][i-1];
    }
    for(int j=len;j>0;j--) printf("0");
}

方法二,时间O(N*K)：

既然有直接构造的，那么就有一步步枚举，模拟的。
我们如何模拟呢？
首先举个例子：1110010
这个例子的下一个就是1110100
再下一个就是1111000
好了我们到此可以先发现一个规律就是将最尾的一个1不断往前移。
那好，下一个便会破坏这个规律，那么我们如何解决这个问题呢？
因为下一个是10000111，也就是会进位。
再举一个例子10011000，下一个是10100001
那么这题便变得很简单了：
我们记录每个1的位置，若是普通情况就直接将最后一个1的位置加1，若是特殊情况就将最后一个调到第一个位置，若是倒数第2个也是特殊情况就调到第2个位置。。直到有一个1往前移一位后不会和它前面1个的1的位置重叠为止，否则，将1一直往后放.

最后知道了1的位置，便可以知道整个数是多少了。

代码(by yuyanke)

var a:array[0..13] of longint;
    i,n,k,j:longint;
begin
    read(n,k);
    for i:=1 to k do a[i]:=i;
    for i:=2 to n do
    begin
        j:=1;
        while true do
        begin
            inc(a[j]);
            if a[j]<>a[j+1] then break;
            a[j]:=j;
            inc(j);
        end;
    end;
    j:=k;
    for i:=a[k] downto 1 do
    begin
        if a[j]=i then
        begin
            write(1);
            dec(j);
        end
        else write(0);
    end;
end.