算法导论2.4 合并排序求逆序数

2-4 逆序对

    设A[1...n]是一个包含n个不同数的数组。如果在i<j的情况下，有A[i]>A[j],则(i,j)就称为A中的一个逆序对。

    (1)列出数组{2,3,8,6,1}的五个逆序。

    (2)如果数组的元素取自{1，2...，n}，那么，怎样的数组含有最多的逆序对？

    (3)插入排序的时间与输入数组中逆序对的数量之间有怎样的关系？

    (4)给出一个算法，能用Θ（n㏒n)的最坏运行时间，确定n个元素的任何排列中你逆序对的数目。（提示：修改合并排序）

解答：

    （1） 略

    （2）逆序数组

    （3）插入排序的时间与输入数组中逆序对的数量呈线性正相关关系。通过观察插入排序的算法伪码可知，算法的运行步骤主要取决于内层循环中元素移动的次数，而每次移动就意味着数组的逆序数减一，当排序结束时逆序数为零。

    （4）依据分治法，如果我们将数组分解成两个子序列，分别求出两个子序列的逆序数，再求出两个子序列之间元素的逆序数，就可以得出整个数组的逆序数了。可以做以下考虑：

            分解：将问题分成前后两个规模为n/2的数组

            解决：分别求解各自的逆序对数。如果子问题规模为2或1，可直接求解。

            合并：此时虽然知道两个子序列各自的逆序对数，但两个子序列之间