向量值函数的范数求导——由笛卡尔轨迹推导TCP线速度

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分类专栏： Robotics 文章标签： robotics 机器人学 向量值函数 导数
于 2021-07-18 23:20:30 首次发布
By Zen. 行行皆辛苦，三连必须有！
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xiaozisheng2008_/article/details/118885300
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本文介绍了如何求解向量值函数的范数导数，具体涉及到二阶范数的计算以及在机器人学中的应用，如计算轨迹的TCP（工具中心点）线速度。通过函数f(t)=[f1(t), f2(t), f3(t), ...,]的范数表达式，推导出其导数表达式，用于理解动态运动中机器人末端坐标随时间变化的速度计算。" 126823349,15394912,Java编程规范与面向对象实战,"['Java开发', '编程规范', '面向对象', '类与对象', '命名约定']

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向量值函数的范数求导

假设有函数 R → R n R \rightarrow R^n R→

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TCP/IP协议
weixin_49164248的博客
11-05 2569
文章目录1、TCP/IP协议与OSI协议2、TCP/IP协议模型结构 1、TCP/IP协议与OSI协议 2、TCP/IP协议模型结构 （1）网络接口层 功能：在物理连接（网线和电脑之间）之上，实现逻辑链路（用到的协议）的连接（拨号连接） 接口卡（网卡）：具有物理地址，即MA地址 SLIP协议 在串行线路上封装IP数据包 用于拨号连接 缺点：没有差错校验机制 差错校验机制：每一端必须知道对方的IP地址，没有办法把本端的IP地址通知给另一端；如果一条串行线路用于SLIP，那么它不能同时使用其他协议 数据报
【向量范数】详解常用的向量范数
程序星空实验室
07-05 8261
对应于闵可夫斯基距离(Minkowski distance)，假设维向量，其Lp范数记作，定义为：假设维向量，其L0范数记作，定义为：L0范数表示向量中非零项的个数，当P=1时，也就是L1范数，对应曼哈顿距离(Manhattan distance)，假设维向量，其L1范数记作，定义为： L1范数表示向量中各个元素绝对值之和，L2范数是最常用的范数，它表示从原点出发到向量确定的点的欧几里得距离。可用于优化正则化项，避免过拟合。无穷范数主要被用来度量向量中元素的最大值。...
向量范数求导
rosefun96的博客
12-11 1万+
1、问题看了参考资料，不是很懂，一个标量与n*1维向量取导，应该得到1*n维向量，但参考1的例子好像却与这个不符。参考： 1.向量范数求导； 2.矩阵计算_Wikipedia； 3.matrixCookbook
向量范数
Zetaa的博客
06-04 1万+
声明： 仅个人小记 效果展示 绘制∥v⃗∥p=1\left \| \vec{v}\right \|_p = 1∥v∥p​=1的图像如下 当 p = 0 当 p = 1 当 p = 2 当 p = +∞\infty∞ 随着p的大小的演变过程，如下 向量范数定义 总体定义 ∥v⃗∥p=(∣v1∣p+∣v2∣p+...+∣vn∣p)1p\left \| \vec{v}\righ...
向量的L2范数求导
weixin_30892889的博客
09-14 4166
回归中最为基础的方法, 最小二乘法. \[ \begin{align*} J_{LS}{(\theta)} &= \frac { 1 }{ 2 } { \left\| A\vec { x } -\vec { b } \right\| }^{ 2 }\quad \\ \end{align*} \] 向量的范数定义 \[ \begin{align*} \vec x &= [x_1,...
向量二范数的求导问题
Mr_Lowbee的博客
02-18 1万+
现有目标函数： f(x)=12∥Ax−b∥22 f(x)=\frac{1}{2} \parallel Ax-b \parallel_2^2 f(x)=21​∥Ax−b∥22​ 其中A∈RN×mA\in \mathbb{R}^{N \times m}A∈RN×m,x∈Rmx \in \mathbb{R}^mx∈Rm,b∈Rnb\in \mathbb{R}^nb∈Rn 则求f′(x)f^{'}(x)f...
向量范数和矩阵范数
孙悟空
06-28 1515
本文分别介绍了向量范数和矩阵范数的定义，以及几种常见的向量范数和矩阵范数
什么是范数【向量范数、矩阵范数】
v20000727的博客
01-19 2955
范数，在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。
向量范数、矩阵范数、矩阵求导
千寻的博客
02-15 2909
向量范数： 矩阵范数： 矩阵范数和向量的有所不同 矩阵求导 标量对矩阵求导 矩阵对标量求导 向量对向量求导
一、基础知识(1)-范数、导数
11-13 1367
最优化基础数学知识
【数值优化之范数与导数】
weixin_65089713的博客
06-16 2887
范数相当于是从向量空间到实数域的映射，也就是度量向量与原点之间的距离，但是这里有很多不同的范数，1范数就相当于是曼哈顿距离，2范数相当于欧几里得距离，无穷范数就相当于闵氏距离。...
范数丨向量范数和矩阵范数
MissXy_的博客
07-25 2575
范数 范数 向量范数 L0L0L^0范数 L1L1L^1范数 L2L2L^2范数 L∞L∞L^{\infty}范数 L−∞L−∞L^{-\infty}范数 LpLpL^{p}范数 矩阵范数 L1L1L^1范数 L2L2L^2范数 L∞L∞L^\infty范数 LFLFL^F范数 L∗L∗L^*核范数 ​   有时我们需要衡量一个向量的大小。在机器学习中，我们经常使用...
向量的2范数求导？
热门推荐
Charles5101的博客
01-06 4万+
  ，  A: ， 即 A(x)=b，   b ，  是求A(x)-b的2范数。 问题：对    求一阶导   .    解答过程如下：   原式等于     对x求导得：     这里主要用到的是向量和矩阵的求导公式。分别为        和      此外还有向量2范数的定义式。   Reference： [1] https://www.zhihu.com/ques...
对范数求偏导数
lilong117194的博客
09-24 1万+
首先介绍点基础知识，另一方面也算是巩固下： A−1A^{-1}表示A的逆矩阵; ATA^T表示A的转置; AHA^H表示Hermitian矩阵(A的共轭转置矩阵A∗==A)基础（1）迹（Trace）eig(A)表示A的特征值（2）行列式（Determinant）（3）特例2*2矩阵以上是摘自：The Matrix Cookbook 也可参考维基百科：Matrix calculusL1范数的次
常用的矩阵范数和矩阵导数
我只钓小鱼的博客
12-07 2994
1.标量函数对矩阵变量求导 定义：矩阵X，函数f(X)是以X为自变量的数量函数，定义f(X)对X的导数为 例如： 常用的矩阵导数有： ∂tr(QTAQ)∂Q=(A+AT)Q\frac{\partial tr(Q^{T}AQ)}{\partial Q}=(A+A^{T})Q∂Q∂tr(QTAQ)​=(A+AT)Q ∂tr(AB)∂A=∂tr(BA)∂A=BT\frac{\partial tr(A...
kinova_j2s6s300【Velocity control for Joint space and Cartesian space】
huangjunsheng123的博客
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1、Velocity control for Joint space and Cartesian space 用户可以访问关节速度和笛卡尔速度（角速度和线速度）。 关节速度控制可以通过发布到主题/'${kinova_robotType}_driver'/in/joint_velocity来实现，以下命令可以以大约 10 度/秒的速度移动 Jaco 机器人的第 6 个关节。请注意，发布速度确实会影响运动速度。 eg:rostopic pub -r 100 /j2n6s300_driver/in/joint_v
向量和矩阵的 1范数、2范数
wmz13248的博客
12-25 2万+
1.向量的范数：0范数，向量中非零元素的个数。 1范数，为绝对值之和。 2范数，就是通常意义上的模。  无穷范数，就是取向量的最大值。 但是向量的范数和矩阵的范数关系不大，百度了好久也没看到狠心的东西，下面我来总结一下： 矩阵的范数：（是矩阵之间距离度量的方法） 矩阵的1范数（norm(A,1)）：在矩阵的各个列中，指绝对值之和最大的那个列（的绝对值之和），举例子一目了然： A=[0 1 0;1 0 0;-1 0 0] A = 0 ...
向量范数：1-范数、2-范数、无穷范数；矩阵范数；欧几里得度量
漫步量化
05-05 2万+
欧几里得度量 又称为欧几里得距离，指的是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。 在欧几里得空间中，点x=(x1,...,xn)x = (x_1,...,x_n)x=(x1​,...,xn​)和y=(y1,...,yn)y = (y_1,...,y_n)y=(y1​,...,yn​)之间的...
L0范数，L1范数，L2范数，Lp范数，无穷范数，Frobenius 范数表示意义
weixin_43682519的博客
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L0范数：是指向量中非0的元素的个数。 L1范数：是指向量中各个元素绝对值之和。 L2范数：是指向量各元素的平方和然后求平方根。 Lp范数: 是指向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方。 无穷范数：是指向量中各个元素绝对值的最大值。 ...
向量的二范数求导
最新发布
03-21
### 向量二范数的求导及其在机器学习优化中的应用 #### 定义与背景 向量的二范数（L2范数）表示为 \( \| \mathbf{v} \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} \)，其中 \( \mathbf{v} \) 是一个 n 维向量。对于该表达式的平方形式 \( \| \mathbf{v} \|_2^2 = \sum_{i=1}^{n} v_i^2 \)，其梯度更容易计算，在许多情况下被广泛应用于机器学习模型的正则化项中[^3]。 #### 数学推导过程 假设给定一个向量 \( \mathbf{v} = [v_1, v_2, ..., v_n]^T \)，我们需要对其二范数进行求导： 1. 首先考虑二范数的平方形式 \( f(\mathbf{v}) = \| \mathbf{v} \|_2^2 = \sum_{i=1}^{n} v_i^2 \) 的偏导数： 对于每一个分量 \( v_j \)，有： \[ \frac{\partial}{\partial v_j} (\| \mathbf{v} \|_2^2) = 2v_j \] 将所有分量组合成向量，则可得梯度为： \[ \nabla_\mathbf{v} (\| \mathbf{v} \|_2^2) = 2\mathbf{v} \] 2. 接下来考虑原始的二范数 \( g(\mathbf{v}) = \| \mathbf{v} \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} \) 的偏导数： 利用链式法则，可以写为： \[ \frac{\partial}{\partial v_j} (g(\mathbf{v})) = \frac{1}{2\sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}} \cdot 2v_j = \frac{v_j}{\| \mathbf{v} \|_2} \] 故完整的梯度为： \[ \nabla_\mathbf{v} (\| \mathbf{v} \|_2) = \frac{\mathbf{v}}{\| \mathbf{v} \|_2} \][^1] #### 应用于机器学习优化 在机器学习领域，尤其是深度学习和线性回归等问题中，常通过加入 L2 正则化项来防止过拟合。具体来说，损失函数通常写作： \[ L(w) = J(w) + \lambda \| w \|_2^2 \] 其中 \( J(w) \) 表示训练误差部分，\( \lambda \| w \|_2^2 \) 表示权重衰减项。通过对整个损失函数关于参数 \( w \) 求导并更新参数实现最小化目标函数的目的。由于 \( \| w \|_2^2 \) 的梯度简单明了，即 \( 2\lambda w \)[^5]，这使得优化算法更加高效稳定。 ```python import numpy as np def l2_norm_derivative(vector): norm = np.linalg.norm(vector) if norm == 0: raise ValueError("Vector has zero length.") return vector / norm # Example usage vector_example = np.array([3, 4]) gradient_l2 = l2_norm_derivative(vector_example) print(gradient_l2) ```
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