Burgers 方程概念及数据生成

先上总结：

• Burgers 方程 = “非线性对流 + 粘性扩散” 的炼金石：既保留 真实流体非线性，又 可解析求解。
• 借助 Cole–Hopf 变换，可将它视为一个“可完全积分”的经典例子，非常适合作为学习更复杂流体方程之前的“热身”。

Burgers 方程是什么？

首先是来自 Wiki 的介绍，Burgers’ equation

伯格斯方程是一个基本的偏微分方程和对流-扩散方程，出现在应用数学的各个领域，如流体力学、 非线性声学、 气体动力学和交通流。

Burgers’ 方程看似简单，却涵盖了 流体力学 里“非线性对流”（advection）与“粘性扩散”（viscosity）两大核心过程的相互作用，因此常被当做“简化版的 Navier–Stokes 方程”来研究。

一维 Burgers 方程形式和意义

1. 带粘性 Burgers 方程 形式为：
   $$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

   • 非线性对流项 $u{u}_x$：速度场 $u(x,t)$ 自己把自身向前“推”——速度高的部分会赶超下游速度低的部分，容易造成梯度增大，最终形成“冲击”或“梯度爆破”（shock）。
   • 粘性扩散项 $\nu u_{xx}$：起到 平滑作用，把陡峭的梯度“抹平”，防止真正的阶跃不连续出现。

2. 当 $\nu =0$ 时，方程退化为 无粘性 Burgers 方程，等同于一个标量的无粘性守恒律：
   $$u_t+(\frac{1}{2}{u}^2{)}_x=0,$$
   这正是 最简单的“超声速气流”、“交通流”等模型的原型，会出现真正的“冲击波”（shock）和“稀疏波”（rarefaction）。

   
   右半图展示的正是 无粘性 Burgers 方程的特征线（characteristics）——每条竖直或倾斜的蓝线都代表 从某个初始点 $x_0$ 出发，以速度 $u(0,x_0)$ “平直”前进的轨迹。

   • 当特征线互不相交（如最左边的几条几乎竖直的线段）时，解是光滑的。
   • 交叉点＝冲击产生： 一旦两条或多条特征线在某个时刻 $t$ 相交，就意味着按 “保持自身速度不变” 这个单纯平移的规则，会出现多值解——在物理上把它看作“冲击波”形成的前兆。

   有粘 vs. 无粘：有粘性时形成平滑的“冲击层”，无粘性时则用不连续跳跃建模冲击。

   • 在有粘性的情形下，这些本来要交叉的特征会在交叉处产生一个厚度为 $O(\nu )$ 的“冲击层”， 把多值区替换成跨越跳跃；
   • 而在严格无粘时，则需要引入一个数学上的跳跃（entropy‐satisfying shock）来保持解的唯一性和物理可接受性。

3. 具有狄利克雷边界条件和外部力 $\mathbf{w}(t,x)$ 的 1D Burgers 方程，
   { ∂ u ∂ t = − u ⋅ ∂ u ∂ x + ν ∂ 2 u ∂ x 2 + w ( t , x ) in  [ 0 , T ] × Ω u ( t , x ) = 0 in  [ 0 , T ] × ∂ Ω u ( 0 , x ) = u 0 ( x ) in  { t = 0 } × Ω \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = -u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + w(t, x) \quad & \text{in}\ [0, T] \times \Omega \\ u(t, x) = 0 \quad & \text{in}\ [0, T] \times \partial\Omega \\ u(0, x) = u_0(x) \quad & \text{in} \ \{t = 0\} \times \Omega\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​∂t∂u​=−u⋅∂x∂u​+ν∂x2∂2u​+w(t,x)u(t,x)=0u(0,x)=u0​(x)​in [0,T]×Ωin [0,T]×∂Ωin {t=0}×Ω​
   $\nu$ 是粘性参数， $u_0(\mathbf{x})$ 是初始条件。

在一维 Burgers 方程中，符号 $x$ 就是“空间坐标”或者说“位置变量”。具体来说：

• 空间域 $\Omega$ 通常是 $x$ 所在的区间，比如 $[0,L]$ 或 $[-1,1]$。
• $\partial \Omega$：区间的端点，狄利克雷边界条件在这些点上强行规定 $u=0$。
• 当写 $u(t,x)$ 时，意思是 “在时刻 $t$ 、位置 $x$ 处的速度（或浓度、位移等物理量） ”。
• 对应的边界条件 $u(t,x)=0$ （狄利克雷边界）就是在区间端点 $x=\partial \Omega$ 上速度被钳制为零。
• 积分 ${\int }_{\Omega }$ 和 ${\int }_{[0,T]\times \Omega }$：分别代表对位置 $x$ 和对时空 $(t,x)$ 的累积。

因此，在控制问题中：

• 控制场 $w(t,x)$ 描述的是在时刻 $t$ 、位置 $x$ 施加的外部力大小——它是一个在 时空 $[0,T]\times \Omega$ 上分布的函数。

这样就可以清楚地看到，所有关于 $x$ 的出现，都是在描述“这条一维管道上不同位置”的物理量如何随时间演化，以及如何被外部力 $w(t,x)$ 所控制。

直观画面：对流 vs. 粘性

1. 只有对流（$\nu =0$）

   • 高速区域向低速推，梯度不断增强——最终出现真正的不连续（“冲击”）。
   • 类似挤压淤泥：越往前越堆越高、形成断崖。

2. 只有扩散（$u{u}_x=0$）

   • 平方一项无效，剩余热方程——初始波形逐渐“挤扁”、变平滑。

3. 两者并存（$\nu >0$）

   • 初期非线性对流让波形向前压去，出现陡峭的前缘；
   • 粘性扩散在此刻发挥平滑作用，防止断崖，但仍保留“陡峭”特征。
   • 稳态下常常呈现“平缓向前 + 陡峭向后”的波前结构。

Burgers’ equation Code and figures
无粘性 Burgers 方程下，用特征线方法（method of characteristics）把初始速度剖面推进到时间 $t=7.75$，

• 虚线是 $t=0$ 的初始速度分布 $u(0,x)$，实线是在 $t=7.75$ 时刻，Burgers 方程的解 $u(7.75,x)$。看到整个波形向右平移、并且在右侧越压越“陡峭”，形成了接近垂直的跳跃——这就是“冲击前奏”（pre-shock）。
• 每一条箭头都从初始曲线上的某一点 $(x_0,u(0,x_0))$ 出发，指向它在 $t=7.75$ 时刻所到达的位置 $(x_0+u(0,x_0)t,u(0,x_0))$。这正是 无粘性 Burgers 方程的特征线：速度值本身 $u$ 就是特征速度，沿着这条特征 $u$ 保持不变、只发生平移。
• 如果沿箭头一直画下去，会发现多条特征在某一点汇聚、交叉，代表无粘性 Burgers 会在该处产生一个“真正”的冲击（数学意义上的不连续跳跃）。
  注意，最初对每个 $x$ 都是单值的。一段时间后，波峰会超过前沿。从那时起，对于某些 $x$ 的值，得到一个三值解。这种超过发生的时间被称为破碎时间——这是指海浪拍打沙滩。它也是微分形式的守恒定律失效，以及特征线首次交叉的点。当特征线交叉时，会形成冲击波或不连续性。从数学上讲，用不连续性替换三值区域可以避免解的多值问题。冲击波应该位于哪里？
  
• 如果用冲击波替换部分多值解区间，一些质量将被移除（区域 A1），而一些质量将被添加（区域 A2）。为了保持积分守恒，冲击波必须放置在这些两个面积相等的位置。
• 如果加入粘性项 $\nu u_{xx}$，那垂直折返会被“平滑”成一个陡峭但连续的过渡层（shock layer）。

为什么 Burgers 方程重要？

Cole–Hopf 变换：从线性回到非线性

Burgers 方程的一个“魔法”是，它可以通过 Cole–Hopf 变换

$$u=-2\nu \frac{{\phi }_x}{\phi }$$

将原方程化为热方程

$${\phi }_t=\nu {\phi }_{xx}.$$

• 热方程 是 线性的、良好研究的方程，可以 用经典的 Green 函数（高斯核）给出解析解。
• 解出 $\phi$ 后，再反变换即可得到 $u$。

尽管 Burgers 方程 看似非线性，借助恰当的变量替换，实际上它是“可完全积分”（integrable）的——在数学上地位比一般 Navier–Stokes 要简单得多。

兼具“可解析性”与“非线性特征”，是物理与数值分析双料“试金石”。

领域	Burgers 方程 的角色
湍流模型	在低维度和可控条件下，测试数值算法，验证湍流统计学理论；研究“能谱转移”（energy cascade）。
交通流	将汽车密度或车速看作标量守恒量，无粘性版本直接给出冲击波（交通拥堵波）的形成机制。
气体动力学	可近似描述一维无压力的气体运动；冲击与膨胀波。
非线性声学	描述高振幅声波的非线性变形与耗散平衡；产生“陡峭波前”但不会形成数学奇异。

多个一维高斯函数叠加生成 Burgers 方程数据

应用场景，经常 叠加高斯函数来生成时间序列数据，形如，

高斯分布

高斯分布（Gaussian distribution），也称为正态分布（Normal distribution），的概率密度函数公式如下：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中：

• $x$：随机变量
• $\mu$：均值（mean），决定分布的中心位置
• $\sigma$：标准差（standard deviation），决定分布的宽度
• ${\sigma }^2$：方差（variance）

这是连续型分布，图像是一个钟形曲线（钟形曲线越“瘦”，代表标准差越小）。

当 $\mu =0$，$\sigma =1$ 时，称为标准正态分布，其公式为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

乘以前面的分子 $\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}$ 是为了保证 曲线下的面积是 1，使其成为有效的概率分布。

一维高斯函数定义

$$G(x)=A\cdot \exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

• $A$：振幅（Amplitude）
• $u$：中心位置（Mean 或 Center）
• $\sigma$：标准差（Standard deviation）

各参数的作用与变化效果：

参数	决定什么	增大或减小的效果
A（振幅）	函数在中心处的最大高度	增大：整体上下拉高 减小：整体缩矮 正值 = 正峰，负值 = 倒峰
μ（中心）	横坐标上高斯峰的中心位置	增大：向右平移 减小：向左平移
σ（标准差）	控制函数的宽度（扩散程度）	增大：变宽，峰变平缓 减小：变窄，峰更尖锐

函数在距离中心 ±σ 的位置处会下降到最大值的约 60.6%：

$$G(\mu \pm \sigma )\approx A\cdot 0.6065$$

多个一维高斯叠加

1D Burgers 方程示例

《Solving PDE-Constrained Control Problems Using Operator Learning》论文中提到，对于初始状态 $u^0$，添加了两个高斯波，其中一个位于 $+x$ 处，具有负振幅，另一个位于 $-x$ 处，具有正振幅，以生成冲击。此外，外部力 $m^t$ 是通过随机添加 1 至 7 个高斯分布来生成的。通过使用 60 个随机初始条件和 500 个外部力，生成了 30000 个轨迹来构建数据集。

《A Generative Approach to Control Complex Physical Systems》论文中提到，在数值模拟中，模拟了 $x=[0,1]$、$t=[0,1]$ 范围内的区域。空间被离散为 128 个网格，时间被离散为 10,000 个时间步。然而，在数据集中，仅保存了 10 个时间点的数据。对于控制序列 $\mathbf{w}$，其刷新频率为 $0.1^{-1}$，即在 t ∈ [ 0.1 k , 0.1 ( k + 1 ) ] , k ∈ { 0 , . . . , 9 } t \in [0.1k, 0.1(k + 1)], k \in \{0, ..., 9\} t∈[0.1k,0.1(k+1)],k∈{0,...,9} 范围内，$\mathbf{w}(t,x)$ 不随时间 $t$ 改变。因此，每条轨迹的数据大小为 $[11,128]$（状态 $\mathbf{u}$）和 $[10,128]$（控制 $\mathbf{w}$）。
在所有设置中，初始值 $\mathbf{u}(0,x)$ 是两个高斯函数的叠加：$\mathbf{u}(0,x)={\sum }_{i=1}^2{a}_i{e}^{-\frac{(x-b_i{)}^2}{2{\sigma }_i^2}},$其中 $a_i$、$b_i$、${\sigma }_i$ 均从以下均匀分布中随机采样：$a_1\sim U(0,2),$ $a_2\sim U(-2,0),$ $b_1\sim U(0.2,0.4),$ $b_2\sim U(0.6,0.8),$ ${\sigma }_1\sim U(0.05,0.15),$ ${\sigma }_2\sim U(0.05,0.15)$。
类似地，控制序列 $\mathbf{w}(t,x)$ 也是 8 个高斯函数的叠加：
$$\mathbf{w}(t,x)=\sum _{i=1}^8{a}_i{e}^{-\frac{(x-b_{1,i}{)}^2}{2{\sigma }_{1,i}^2}}{e}^{-\frac{(t-b_{2,i}{)}^2}{2{\sigma }_{2,i}^2}},\text{\hspace{1em}(20)}$$
其中每个参数独立生成：$b_{1,i}\sim U(0,1),$ $b_{2,i}\sim U(0,1),$ ${\sigma }_{1,i}\sim U(0.05,0.2),$ ${\sigma }_{2,i}\sim U(0.05,0.2),$ $a_1\sim U(-1.5,1.5)$，对于 $i\ge 2$，$a_i\sim U(-1.5,1.5)$ 或 0（以相等概率生成）。
在基于方程 (16) 的数值求解中，给定 $\mathbf{u}(0,x)$ 和 $\mathbf{w}(t,x)$ 后计算得到 $\mathbf{u}(t,x),t\ne 0$。数据集生成的设置基于之前的研究（就是上面的）。
我们为训练集生成了 90,000 条轨迹，为测试集生成了 50 条轨迹。每条轨迹占用 32KB 空间，数据集总大小为 2GB。

那么问题来了，参数范围为什么这么取？

在这个数据集的设计中，对高斯函数参数取这样的范围，主要是为了在 多样性、可分辨性、以及 数值稳定性 之间取得平衡。

1. 中心位置 $b_{1,i},b_{2,i}\sim U(0,1)$

   • 将空间中心 $b_{1,i}$ 和时间中心 $b_{2,i}$ 都均匀分布在 $[0,1]$ 区间，保证每条轨迹中的高斯突发可以出现在整个空间-时间域的任意位置，从而 最大化数据的覆盖性和多样性。

2. 空间和时间尺度 ${\sigma }_{1,i},{\sigma }_{2,i}\sim U(0.05,0.2)$

   • 可分辨性：对于空间方向，网格间距为 $\Delta x=1/127\approx 0.0079$。若 ${\sigma }_1$ 过小（例如 $<0.02$），高斯峰会在太窄的区域内剧烈变化，导致在离散网格上无法准确解析；若过大（例如 $>0.3$），又退化为近似平坦的背景，对解的影响趋同于整体偏置，降低了样本的“激发”效果。取 ${\sigma }_1\in [0.05,0.2]$ 时，高斯峰宽度约在 $0.15$ 到 $0.6$ 之间，既能被 128 格网格良好解析，又能产生足够丰富的局部结构。
   • 时间分辨率：同理，时间步长 $\Delta t=1/10000=10^{-4}$，而控制序列只在每个 $[0.1k,0.1(k+1)]$ 区间内保持常数。若 ${\sigma }_2$ 远小于 $0.05$，高斯脉冲在时间上集中得太短，与 $0.1$ 的刷新周期严重不匹配；若远大于 $0.2$，则又近似全程恒定，不足以激发多样演化。取 $[0.05,0.2]$ 能使高斯脉冲在 0.1 的区间内既有明显起落，又不过于尖锐，从而生成既平滑又富有波动的控制。

3. 振幅范围 $a_i$

   • 主分量 $a_1\sim U(-1.5,1.5)$：保证第一个高斯激励幅度在 $\pm 1.5$ 之间，以便产生与 Burgers 方程中速度场同量级（通常 $u$ 也在 $[-2,2]$ 量级）的驱动，不至于过强导致数值发散，也不至于过弱丧失驱动效果。
   • 其余分量 $a_{i\ge 2}$ 等概率取零或 $\sim U(-1.5,1.5)$：通过一半概率“关闭”某些高斯项，引入不同的“激励模式数”（1 到 8 个峰不等），丰富了数据集中轨迹间的多样性，对下游学习任务（比如深度学习物理仿真、控制策略学习）十分有益。

   振幅范围选在 $\pm 1.5$ ，主要也是为了在“够大以激发丰富的非线性动力学”与“又不至于数值发散”之间找到一个合理的折中。