一文搞懂动态规划：从入门到精通

大雨淅淅

于 2025-06-22 14:42:30 发布

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分类专栏：智能算法文章标签：动态规划算法

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一、动态规划是什么？

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP），听名字似乎有点高大上，让人摸不着头脑，但其实它的核心思想并不复杂。简单来说，动态规划是一种将复杂问题分解成一系列相对简单的子问题，并通过求解子问题来得到原问题最优解的方法。

为了让大家更好地理解，我们来举个生活中的例子。假设你计划去旅游，有多个城市可供选择，每个城市之间的交通费用不同，你希望规划出一条从出发地到目的地，且总费用最低的路线。这时候，动态规划就可以派上用场啦！

我们把整个旅程看作一个大问题，将其分解为多个阶段，每个阶段就是从一个城市到下一个城市的选择。比如，从城市 A 出发，你可以选择去城市 B、C 或 D，而从 B、C、D 又分别有不同的后续城市可以选择。我们可以通过计算每个阶段的最优选择，逐步构建出整个旅程的最优路线。

具体来说，在第一个阶段，你计算从 A 到 B、C、D 的费用，选择费用最低的路线作为当前的最优选择。到了第二个阶段，基于第一个阶段的最优选择，继续计算后续路线的费用，不断重复这个过程，直到到达目的地。在这个过程中，你会发现，有些子问题会被重复计算，比如从城市 B 到城市 E 的费用，在不同的路线选择中可能都会涉及到。动态规划的一个重要特点就是，它会记录已经计算过的子问题的解，当再次遇到相同的子问题时，直接使用之前的结果，而不是重新计算，这样就大大提高了计算效率。

通过这个旅行规划的例子，你是不是对动态规划有了初步的认识呢？简单总结一下，动态规划就是把一个大问题拆分成小问题，通过解决小问题，找到大问题的最优解，同时避免重复计算，节省时间和精力。接下来，我们深入探讨动态规划的特点和应用场景。

二、动态规划的核心原理

了解了动态规划的基本概念后，我们深入探讨一下它的核心原理，主要包括最优子结构、无后效性和重叠子问题这三个关键特性。掌握这些原理，能帮助你更好地理解动态规划算法的本质，在解决实际问题时更加得心应手。

2.1 最优子结构

最优子结构是动态规划的一个重要特性，它指的是问题的最优解包含了子问题的最优解。简单来说，如果我们要求解一个大问题的最优解，那么可以通过求解它的子问题的最优解，然后将这些子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。

以经典的背包问题为例，假设你有一个背包，它的容量为 5 千克，你有 3 个物品，分别是重量为 2 千克、价值为 3 元的物品 A，重量为 3 千克、价值为 4 元的物品 B，以及重量为 1 千克、价值为 2 元的物品 C。你需要在不超过背包容量的前提下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

我们可以将这个问题分解为多个子问题。比如，先考虑只有物品 A 时，在背包容量为 1 千克、2 千克、3 千克、4 千克、5 千克的情况下，能获得的最大价值分别是多少；接着加入物品 B，计算在不同背包容量下，包含物品 A 和物品 B 时能获得的最大价值；最后加入物品 C，再次计算不同背包容量下的最大价值。

在这个过程中，我们发现，计算包含物品 A 和物品 B 时的最大价值，是基于只有物品 A 时的最大价值这个子问题的最优解。例如，当背包容量为 5 千克时，包含物品 A 和物品 B 的最大价值，可能是在只有物品 A 时，背包容量为 2 千克的最大价值（即放入物品 A，价值为 3 元），再加上物品 B 的价值（4 元），也可能是只有物品 A 时，背包容量为 5 千克的最大价值（即只放入物品 A，价值为 3 元），我们取这两者中的较大值，就是包含物品 A 和物品 B 时，背包容量为 5 千克的最大价值。这就是通过子问题的最优解来构建全局最优解的过程，体现了最优子结构的特性。

2.2 无后效性

无后效性是动态规划的另一个关键特性。它是指某个状态的未来发展只取决于当前状态，而与它是如何到达当前状态的过去决策过程无关。也就是说，一旦当前状态确定，那么后续的决策和计算就只基于这个状态进行，不会受到之前决策的影响。

继续以上述背包问题为例，当我们确定了当前背包中已经放入了物品 A 和物品 B，背包剩余容量为 0 千克时，此时这个状态下的最大价值就是已经确定的，不会因为之前是先放入物品 A 还是先放入物品 B 而改变。后续如果还有新的物品要考虑放入，也是基于当前这个 “背包中有物品 A 和物品 B，剩余容量为 0 千克” 的状态来进行决策，而不会去考虑之前的放入顺序等历史信息。这就是无后效性的体现，它保证了我们在求解子问题时，可以按照一定的顺序进行，而不用担心之前的决策会对后续的计算产生干扰。

2.3 重叠子问题

重叠子问题是动态规划能够提高效率的重要基础。它是指在求解问题的过程中，会出现一些相同的子问题被多次计算的情况。如果每次遇到这些子问题都重新计算，会浪费大量的时间和计算资源。动态规划通过记忆化存储的方式，将已经计算过的子问题的解保存下来，当再次遇到相同的子问题时，直接从存储中读取结果，而不需要重新计算，从而大大提高了算法的效率。

还是以背包问题来说，在计算不同背包容量和不同物品组合下的最大价值时，可能会多次遇到计算背包容量为 3 千克，包含物品 A 和物品 C 时的最大价值这个子问题。如果没有重叠子问题的概念，每次遇到都要重新计算一遍这个子问题，而利用动态规划，我们在第一次计算出这个子问题的解后，将其存储起来，后续再遇到同样的情况，直接读取存储的结果就可以了。这样，通过避免重复计算，大大加快了整个问题的求解速度。

三、动态规划解题步骤

了解了动态规划的核心原理后，我们来看看如何运用动态规划解决实际问题，一般来说，动态规划的解题步骤可以分为以下几步。

3.1 定义状态

定义状态是动态规划解题的第一步，也是非常关键的一步。它的本质是找到一种合适的方式来描述问题的子问题，使得我们能够通过求解这些子问题，最终得到原问题的解。

在定义状态时，我们需要思考哪些信息能够完整地描述问题在某个阶段的情况，这些信息就是我们用来定义状态的变量。

以经典的斐波那契数列问题为例，斐波那契数列的定义是：\(F(0)=0\)，\(F(1)=1\)，\(F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)\)（\(n\geq2\)）。我们可以定义状态 \(dp[i]\) 表示第 \(i\) 个斐波那契数，这样就将求解整个斐波那契数列的问题，转化为求解每个 \(dp[i]\) 的子问题。

再比如背包问题，假设我们有一个容量为 \(W\) 的背包和 \(n\) 个物品，每个物品有重量 \(w_i\) 和价值 \(v_i\) 。我们可以定义状态 \(dp[i][j]\) 表示在前 \(i\) 个物品中选择，背包容量为 \(j\) 时能获得的最大价值。这里的 \(i\) 和 \(j\) 就是状态变量，它们完整地描述了问题在某个阶段的情况，即考虑到第 \(i\) 个物品，背包容量为 \(j\) 时的最大价值。