动态规划（详细解释）

学习自省

已于 2023-02-02 16:30:48 修改

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分类专栏：算法文章标签：动态规划算法

于 2023-02-02 16:30:02 首次发布

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日升时奋斗，日落时自省

DP定义：

动态规划是分治思想的延伸，通俗一点来说就是大事化小，小事化无的艺术

在将大问题化解为小问题的分治过程中，保存对着些小问题已经处理好的结果，并供后面处理更大规模的问题时直接使用这些结果

动态规划具备了以下三个特点

1.把原来的问题分解成了几个相似的子问题

2.所有的子问题都只需解决一次

3.存储子问题的解

动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义（状态以及状态之间的递推关系）

动态规划问题一般从以下四个角度考虑：

1.状态定义

2.状态间的转移方程定义

3.状态的初始化

4.返回结果

状态定义的要求：定义的状态一定要形成递推关系

适用场景：最大值/最小值，可不可行，是不是，方案个数

以下用例题来详细了解动态规划

1、Fibonacci

题目来源于牛客网：斐波那契数列_牛客题霸_牛客网

斐波那契数列，最常了解的方法是递归方法解决问题

那如果是动规的情况如何处理斐波那契数列，

代码解析（附加注释）：

    public int Fibonacci(int n){
        //初始值
        if(n<=0){
            return 0;
        }
        //申请一个数组 ，保存子问题的解，题目要求从第项开始
        int[] dp=new int[n+1];
        //状态初识化
        dp[0]=0; 
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            //状态转移方程
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        //处理dp动规就是
        return dp[n];
    }

2、字符串分割

题目来源于牛客网：拆分词句_牛客题霸_牛客网

题目描述：给定一个字符串和一个词典dict ，确定是否可以根据词典中的词分成一个或多个单词

比如给定字符串 s = "leetcode" 词典： dict=["leet" ，"code"]

给定的字符串可以被分解，并且词典中还是有的能组成s字符串

方法：动态规划

代码解析（附加注释）：

    public boolean wordBreak(String s, Set<String> dict){
        //此处0下标表示的 辅助值  看你需要什么条件才能开始
        boolean[] F=new boolean[s.length()+1]; 
        //初识化F(0) = true   只有初识化后才能走
        F[0]=true;
        for(int i=1;i<=s.length();i++){
            for(int j=i-1;j>=0;--j){
                //F(i) : substr(j+1,i)  进行判定是否能在词典中找到
                //以下也是动态转移方程 :
                if(F[j]&&dict.contains(s.substring(j,i))){
                    F[i]=true;
                    break;
                }
            }
        }
        //因为以上创建对象的时候 动规返回 F[最后一个位置]
        return F[s.length()];
    }

3、三角矩阵

题目来源于牛客网：三角形_牛客题霸_牛客网

题目描述：给定一个三角矩阵，找出自顶向下的最短路径和，每一步可以移动到下一行的相邻数字，比如给定下面一个三角矩阵，自顶向下的最短路径和

方法：动态规划

状态：子状态：

从（0,0）到（1,0），（1,1），（2,0），，，，（n,n）的最短路径和F（i，j），从（0,0）到（i，j）的最短路径和

状态递推（状态转移方程）：

F（i，j）=min（F（i-1，j-1），F（i-1，j）+triangle[i][j]）

初始值： F（0,0）也就是数组开始位置 triangle[0][0]

以下是三种情况：并且每种情况都是动态规划的转移方程

代码解释（附加注释）：

    public int minimumTotal(ArrayList<ArrayList<Integer>>  triangle){
        if(triangle.isEmpty()){
            return 0;
        }
        List<List<Integer>> min=new ArrayList<>();
        //将所有数组的开始添加一个 顺序表
        for(int i=0;i<triangle.size();i++){
            min.add(new ArrayList<>());
        }
        min.get(0).add(triangle.get(0).get(0));//将开始位置 添加到最小路径中
        for(int i=1;i<triangle.size();i++){
            //此处使用的一个接收值   其实min[i][j]
            int curSum=0;
            for(int j=0;j<=i;j++){
                if(j==0){
                    //相当于第一种情况解释的是  min[i][j]=min[i-1][j]
                    curSum=min.get(i-1).get(0);
                }
                else if(j==i){
                    //相当于第二种情况解释的是  min[i][j]=min[i-1][j-1]  
                    curSum=min.get(i-1).get(j-1);
                }else{
                    //相当于第三种情况解释的是  min[i][j]=Math.min(min[i-1][j-1],min[i-1][j])
                    curSum=Math.min(min.get(i-1).get(j),min.get(i-1).get(j-1));
                }
                // 以上已经处理好了三种情况  接收最小路径 +  当前值
                min.get(i).add(curSum+triangle.get(i).get(j));
            }
        }
        int size=triangle.size();
        //此处就是最后一行，最后一行也包含了所有相关相关路径 第一个值
        int allmin=min.get(size-1).get(0);
        //将所有值对比  找到最小值
        for(int i=1;i<size;i++){
            allmin=Math.min(allmin,min.get(size-1).get(i));
        }
        return allmin;
    }

4、路径总数

题目来源于牛客网：不同路径的数目(一)_牛客题霸_牛客网

题目描述：

在一个m*n的网格的左上角有一个机器人，机器人在任何时候只能向下或者向右移动，机器人试图到达网格的右下角，有多少可能的路径

动态规划：

代码解释（附加注释）：

    public int uniquePaths(int m,int n){
        List<List<Integer>> pathNum=new ArrayList<>();
        //申请 F(i,j)空间   初始化
        for(int i=0;i<m;i++){
            //将每个顺序表的每个空间再创建顺序表
            pathNum.add(new ArrayList<>());
            //将每列第一个元素都进行 加 1 图解详细 ，仔细观看
            pathNum.get(i).add(1);
        }
        for(int i=1;i<n;i++){
            //将每一列进行加1    也就是第一行进行每个元素+1
            pathNum.get(0).add(1);
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                //sum(i,j)=sum(i-1,j)+sum(i,j-1)   
                pathNum.get(i).add(pathNum.get(i).get(j-1)+pathNum.get(i-1).get(j));
            }
        }
        //动态规划后 处理结束了 每次走动就是叠加起来
        return pathNum.get(m-1).get(n-1);
    }

5、最小路径和

题目来源于力扣：力扣

题目描述：给定一个m*n的网格，网格用非负数填充，找到一条从左上角到右下角的最短路径

注：每次只能向下或者向右移动，相当于是路径总数的基础上找到一个最短的路径

方法：动态规划

状态：

子状态： 从(0,0)到达（1,0），（1,1），（2,1） ...（m-1，n-1）

minsum（i，j）：从（0,0）到达minsum(i，j)的最短路径

状态转移方程：

minsum[i][j]=Math.min(minsum[i-1,j],minsum[i,j-1])+minsum[i][j]

初始化值：

minsum[0][0]=(0,0)

特殊情况：第0行和第0列

minsum（0，i）=minsum（0，i-1）+（0，i）

minsum（i，0）=minsum（i-1，0）+（i，0）

代码解析（附加注释）：

    public int minPathSum(int[][] minsum){
        int row=minsum.length;
        int col=minsum.length;
        //如果行还是列有一个为空  返回为0
        if(row==0||col==0){
            return 0;
        }
        //F(0,0) F(0,i) F(i,0) 初始化
        for(int i=1;i<row;i++){
            // 状态初识化值  处理行值
            minsum[i][0]=minsum[i-1][0]+minsum[i][0];
        }
        for(int i=1;i<col;i++){
            // 状态初识化值  处理列值
            minsum[0][i]=minsum[0][i-1]+minsum[0][i];
        }
        //调用状态转移方程：
        // minsum[i][j]=minsum[i][j]+Math.min(minsum[i-1][j],minsum[i][j-1])
        for(int i=1;i<row;i++){
            for(int j=1;j<col;j++){
                minsum[i][j]=minsum[i][j]+Math.min(minsum[i-1][j],minsum[i][j-1]);
            }
        }
        //结束结果  动态规划一步一步处理 二维数组最后结束
        return minsum[row-1][col-1];
    }

6、背包问题

题目来源于炼码：LintCode 炼码

题目描述：

有n个物品和一个大小为m的背包，给定数组A表示每个物品的大小和数组V表示每个物品的价值。

问最多能装下背包的总价值是多大？

状态：

F（i，j）：前i个物品放入大小为 j 的背包中所获得的最大价值

状态转移方程过程：

对于第i个商品，有一种例外，装不下，两种选择，放或者不放，如果装不下：此时的价值与前i-1的个的价值是一样的，表示不装

F（i，j）=F（i-1，j）

如果可以装入，需要在两种选择中找到最大的

F（i，j）=max（F（i-1，j），F（i-1，j-A[i]）+V[i]）注：此处看的不是那么清楚，一会看一下图解

F（i-1，j）:表示不把第i个物品放入背包中，所以它的价值就是前i-1个物品放入大小为j的背包的最大价值

F（i-1，j-A[i]）+V[i] ：表示把第i个物品放入背包中，价值增加V[i] ,但是需要腾出 j-A[i]的大小放第i个商品

初始化：第0行和第0列都为0 表示没有装物品的价值都为0

代码解析（附加注释）：

    public int backPackII(int m,int[] A,int[] V){
        int num=A.length;
        if(m==0||num==0){
            return 0;
        }
        //需要辅助值 作为准备  数组中 num+1 表示 物品大小 m+1 表示价值
        int[][] maxValue=new int[num+1][m+1];
        //初始化所有位置为0  第一行 和 第一列都为0 初识条件
        for(int i=0;i<=num;i++){
            maxValue[i][0]=0;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            maxValue[0][i]=0;
        }
        for(int i=1;i<=num;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                //第i个商品在A中对应的索引为 i-1 i从1开始
                //如果第i个商品大于j 说明放不下 所以（i,j）的最大价值 和 （i-1，j）相同
                if(A[i-1]>j){
                    //当前物品体积  大于  当前容量 就说明装不下，把原来的继承下来就行
                    maxValue[i][j]=maxValue[i-1][j];
                }else{
                    //如果可以装下，分两情况 装或者不装
                    //如果不装 ，即为 (i-1,j)
                    //如果装 ， 需要腾出放第i个物品大小的空间：j-A[i-1],能装之后的最大价值即为原有价值加上
                    // maxValue[i - 1][j - A[i - 1]]   +  V[i-1]
                    //最后在装与不装中选出最大的价值
                    int newValue=maxValue[i-1][j-A[i-1]]+V[i-1];
                    //新值 与  原来值   进行比对
                    maxValue[i][j]=Math.max(newValue,maxValue[i-1][j]);
                }
            }
        }
        return maxValue[num][m];
    }

注：newValue=maxValue[i-1][j-A[i-1]]+V[i-1]; 创建数组时就已经了各加一个空间，第0行和第0列已经处理好了，占了一个位置，所以V[i-1]其实也就是V[i]，因为二维数组整体加1如果还想要调用V[i] 此处就需要V[i-1]

7、回文串分割

题目来源于牛客网：分割回文串-ii_牛客题霸_牛客网

回文串：正读和反读都一样的字符串，比如level，noon字符串左右对称

题目描述：

给定一个字符串 s，把 s 分割成一系列的子串，分割的每一个子串都为回文串返回最小的分割次数比如，给定 s="abb" 返回1 ，因为一次 cut 就可以产生回文分割[“a","bb"];

方法：动态规划

状态：

子状态：到 1,2,3，....n个字符需要的最小分割数

F(i)：到第i个字符需要的最小分割数

状态递推（状态转移方程）：

F(i) =min(F(i),1+F(j)) , F(i) 表示第i个字符需要的最小分割数，就 j < i && j+1 到 i是回文串上式表示如果从j+1 到i 判断为回文字符串，且已经知道从第 1 个字符串到第 j 个字符的最小切割数，那么只需要再切一次，就可以保证 1到j ， j+1 到 i都为回文串

初始化：

F(i) =i-1 表示最大切割数：单个字符需要切0次，因为单子符都为回文串（图解）

代码解释（附加注释）：

    public int mincut(String s){
        int len = s.length();
        if(len==0){
            return 0;
        }
        //进行 判定该阶段的字符串 是不是 回文串
        boolean[][] Mat=getMat(s);
        int[] mincut=new int[len+1];
        //F(i) 初始化
        //F(0)=-1 必要项 如果没有这一项 ，对于 重叠字符串 “aaaa" 会产生错误的结果
        for(int i=0;i<=len;i++){
            mincut[i]=i-1;   //此处针对特殊情况  就是全部字符串都是重复的 ，应对错失
        }
        for(int i=1;i<=len;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                //F(i)=min(F(i),1+F(j))
                //从最长串判断 如果从第j+1 到 i为回文字符串
                //则再加一次分割 从 1 到 j ，j+1 的 i 的字符就全部分成了回文字符串
                if(Mat[j][i-1]){
                    mincut[i]=Math.min(mincut[i],mincut[j]+1);
                }
            }
        }
        return mincut[len];
    }
    //数组包装 回文串判定
    private boolean[][] getMat(String s) {
        int len =s.length();
        //二维数组 表示 字符串的前后
        boolean[][] Mat=new boolean[len][len];
        for(int i=len-1;i>=0;i--){
            //到这开始 从一个一个来
            for(int j=i;j<len;j++){
                //从当前位置开始 向后判断
                if(j==i){
                    //处理单个字符  单个字符串都是回文串
                    Mat[i][j]=true;
                }else if(j==i+1){  //判断相邻情况
                    //相邻字符如果相同 则为回文字符串
                    if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
                        Mat[i][j]=true;
                    }else{
                        //如果不是相邻字符串  返回为 false
                        Mat[i][j]=false;
                    }
                }else{
                    //F(i,j)=(s[i]==s[j]&&F(i+1,j-1))
                    //F(i+1,j-1) 基本表示这个意思 l     eve       l
                    Mat[i][j]=(s.charAt(i)==s.charAt(j)&&Mat[i+1][j-1]);
                }
            }
        }
        return Mat;
    }

8、编辑距离

题目来源于牛客网：编辑距离_牛客题霸_牛客网

题目描述：给定两个单词word1 和 word2、找到最小的修改步数，把word1 转换成 word2，每一个操作记为一步，允许在一个word上进行如下3种操作：

（1）插入一个字符

（2）删除一个字符

（3）替换一个字符

编辑距离是指两个字符串之间，由一个转成另一各所需的最少编辑操作次数

方法：动态规划

状态：

子状态：word 1的前1,2,3，....m个字符转换成word2的前1,2,3，....n个字符需要的编辑距离

F(i,j)：word1的前i个字符于word2 的前j个字符的编辑距离

状态递推（状态转移方程）：

F(i,j) =min（F(i-1,j)+1,F(i,j-1)+1,F(i-1,j-1)+(word1[i]==word2[j]?0:1)）注：此处下面再解释

上式表示从删除，增加和替换操作中选择一个最小操作数

F(i-1,j):word1[1...i-1]于word2[1....j]的编辑距离，删除word1[i]的字符--->F(i,j)

F(i,j-1):word1[1....i]于word2[1....j-1]的编辑距离，增加一个字符--->F(i,j)

F(i-1,j-1):word1[1....i-1]于word2[1...j-1]的编辑距离，如果word1[i]与word2[j]相同,不做任何操作，编辑距离不变，如果word1[i]与word2[j]不同，替换word1[i]的字符为word2[j]--->F(i,j)

初始化：

初始化一定要是确定的值，如果这里不加入空串，初始值无法确定

F(i,0)=i :word 与空串的编辑距离，删除操作

F(0,i)=i: 空串与word的编辑距离，增加操作

放回结果：F(m,n) (图解没有完全以下给出可以找到规律)

代码注释（附加注释）：

    //word 与空串 之间的编辑距离为word 的长度
    public int minDistance(String word1,String word2){
        if(word1.isEmpty()||word2.isEmpty()){
            return Math.max(word1.length(),word2.length());
        }
        int len1=word1.length();
        int len2=word2.length();
        //动态规划 需要辅助值 所以当前数组也多创建了一行
        int[][] minDis=new int[len1+1][len2+1];
        //F(i,j) 初始化 针对不同位置的东西
        for(int i=0;i<=len1;i++){
            minDis[i][0]=i;
        }
        for(int i=0;i<=len2;i++){
            minDis[0][i]=i;
        }
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                //F(i,j) =min (F(i-1,j)+1,F(i,j-1)+1,F(i-1,j-1)+(word1[i]=word2[j]?0:1))
                minDis[i][j]=Math.min(minDis[i-1][j],minDis[i][j-1])+1;
                if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)){
                    //字符相等 F(i-1，j-1) 编辑距离不变  与上次
                    minDis[i][j]=Math.min(minDis[i][j],minDis[i-1][j-1]);
                }else{
                    //字符不相等 F(i-1,j-1) 编辑距离+1
                    // 因为不同 所以 当前位置的 与  上一位置+1 进行比较
                    minDis[i][j]=Math.min(minDis[i][j],minDis[i-1][j-1]+1);
                }
            }
        }
        return minDis[len1][len2];
    }

9、不同子序列

题目来源于牛客网：不同的子序列_牛客题霸_牛客网

题目描述：给定两个字符串S 和 T ，求S有多少个不同的子串与T相同。S的子串定义为 S中任意去掉0个或者多个字符形成的串子串可以不连续，但是相对位置不能变。

比如“ACE” 是“ABCDE” 的子串，但是“AEC” 不是

问题处理：S有多少个不同的子与T相同的个数

S[1:m] 中的子串与T[1:n]相同的个数由S的前m个字符组成的子串与T的前n个字符相同的个数

状态：

子状态：由S的前1,2....m个字符组成的子串与T前1,2，.....n个字符相同的个数F(i,j):S[1;i]中的子串与T[1:j]相同的个数

在F(i，j)：S[1:i]中的子串与T[1:j]相同的个数

状态递推（状态转移方程）：

在F(i,j)，处需要考虑S[i]=T[j]和S[i]!=T[j]这两种情况

当S[i]=T[j]:

1> :让S[i]匹配T[j],则F(i,j)=F(i-1,j-1)

2> :让S[i]不匹配 T[j] ,则问题就变为S[1:i-1] 中的子串与T[1:j]相同的个数，则F(i,j)=F(i-1,j)

故：S[i]=T[j]时，F(i,j)=F(i-1,j-1)+F(i-1,j)

当S[i]!=T[j]

问题退化为 s[1:i-1] 中的子串与 T[1:j] 相同的个数

故，S[i]!=T[j] 时 F(i , j) =F(i-1,j)

初始化：引入空串进行初始化

F(i,0)=1 -->S的子串与空串相同的个数，只有空串与空串相同

代码解析（附加注释）：

    public int numDistinct(String s,String T){
        int slen=s.length();
        int tlen=T.length();
        int[][] numDis=new int[slen+1][tlen+1];
        numDis[0][0]=1;
        //F(i,j) 初始化第一行 剩余列的所有值为0
        for(int i=1;i<=tlen;i++){
            numDis[0][i]=0;
        }
        //F(i,0)=1   辅助值 
        for(int i=1;i<=slen;i++){
            numDis[i][0]=1;
        }
        //每次都从1 开始 因为多创建一个空间 作为辅助值来提供帮助
        for(int i=1;i<=slen;i++){
            for(int j=1;j<=tlen;j++){
                //s 的第i个字符与 T 的第j个字符相同
                if(s.charAt(i-1)==T.charAt(j-1)){
                    numDis[i][j]=numDis[i-1][j]+numDis[i-1][j-1];
                }else{
                    // s 的第i个字符与 T 的第j个字符不相同
                    //从S 的前 i-1 个字符中找子串 ，使子串 与 T的前j个字符相同
                    numDis[i][j]=numDis[i-1][j];
                }
            }
        }
        return numDis[slen][tlen];
    }