大学生程序设计竞赛：解锁烧脑题目的神秘面纱-优快云博客

有这样一个有趣的场景：一群可爱的小狗围绕着一堆骨头，每只小狗都有独特的吃法。假设现在有\(m\)只狗准备吃骨头，我们设\(a_n\)表示还有\(n\)只狗准备去吃骨头时骨头的数量，\(a_m\)就是我们最终要求的答案。这里面存在着一个递推关系，每只狗吃骨头时，先吃掉一根，然后吃掉剩余骨头的\(\frac{m - 1}{m}\) ，即\((a_{i}-1)\frac{m - 1}{m}=a_{i - 1}\)。通过巧妙的待定系数法，我们可以将其转换为指数数列\(a_n + m - 1=\frac{m}{m - 1}(a_{n - 1}+m - 1)\)，再设\(b_n = a_n + m - 1\)，这样就得到\(b_n=\frac{m}{m - 1}b_{n - 1}\)，进而得出\(b_n = (\frac{m}{m - 1})^{n - 1}b_1\)。

这个过程中，要满足小狗吃骨头的规律，\(a_n\)必须满足\(m|(a_n - 1)\) ，并且\(a_n\)、\(b_n\)都得是整数。当\(m > 2\)时，因为\(m\)和\(m - 1\)互质，为了保证\(b_1\sim b_m\)是整数，\(b_1\)必须等于\(K(m - 1)^{m - 1}\)，\(K\)是正整数。同时，最后一只狗也要能按规律吃骨头，所以代入相关式子后，当\(m > 2\)时，\(a_m = m^m - m + 1\) ；而当\(m = 2\)时，情况有所不同，之前的递推式不成立，因为按照之前计算，第二只狗会没有足够骨头吃，没有考虑 “剩下的骨头非负” 这一要求，此时答案是\(7\)。这道题就像一个神秘的骨头分配谜题，需要选手们运用数学思维和编程技巧，为小狗们合理分配骨头。

2.2 音乐之城

想象一下，你置身于一座充满音乐氛围的城市，这里的每一个角落都流淌着美妙的音符。在这个 “音乐之城” 题目中，就与音乐的节奏和击打有关。首先考虑\(t = 0\)的情况，此时最长的连击（combo）数量是\(b_i = a_i\%x\)的最长连续相同子段。这里引入一个启动时间\(s\)，不妨假设\(s < 0\) ，那么一个音符能够被击打到，当且仅当存在\(y\) ，满足\(|y|â¤t\)且\(a_i + yâ¡s\ mod\ x\) 。通过枚举\(y\) ，就能计算出\(s\ mod\ x\)的值，进而得到一个音符对应的能够被击打的\(s\)的集合\(I_i\) 。由于\(|I_i|â¤64\) ，可以利用状态压缩将其变为一个 64 位数，记为\(E[i]\) 。一段音符\(l, l + 1, â¦, r\)能够被击打到的条件是\(I_lâ©I_{l + 1}â©â¯â©I_râ â\) ，也就是\(E[i]â§E[i + 1]â§â¯â§E[r]â 0\) （\(â§\)表示二进制与）。

为了解决这个问题，选手们需要先预处理出\(E\)数组，再使用 st 表维护区间二进制与。通过枚举一个\(l\) ，利用二分查找最远的\(r\) ，使得\(E[l]â§E[l + 1]â§â¯â§E[r]â 0\) ，这样\([l, r]\)就是一段连击区间。整个过程就像在音乐的节奏海洋中，寻找那些能够完美击打的音符组合，总复杂度为\(O(nlogâ¡n+\frac{nx}{64})\) 。这不仅考验选手对音乐节奏的抽象理解，更考验他们对算法和数据结构的运用能力。