【统计学】关于Z score 的一切（如何由一组数据转变为 平均值为0；方差为1的一组数据）

导读：通常我们使用方差、标准差来度量一组数据的离散程度，但是如果想要度量单个变量在一组数据中的相对离散位置，我们则会使用Z
score也称 标准分数 Standard score来衡量。
$$Z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}$$

下面，通过公式的推导来论证一下使用“Z score”来标记相对位置的合理性和逻辑性。

1 z score构成的数据集合为什么均值为0

假设现有一组数据$x_1,x_2,....x_n$,其均值为$\bar{x}$,方差为s，那么单个数据点$x_1$的z score就是
$$Z_1=\frac{x_1-\bar{x}}{s}$$
如果将所有的$Z_1,Z_2...Z_n$来求均值可以得：
Z ˉ = Z 1 + Z 2 + . . . + Z n n = x 1 − x ˉ s + x 2 − x ˉ s + . . . + x n − x ˉ s n = x 1 + x 2 + . . . + x n − n x ˉ n s \bar Z=\frac {Z_1+Z_2+...+Z_n}{n}=\frac{\frac{x_1-\bar x}{s}+\frac{x_2-\bar x}{s}+...+\frac{x_n-\bar x}{s}}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n-n\bar x}{ns}