最长回文子串(Longest Palindromic Substring)

问题：给定字符串S，求S中的最长回文子串。

 

这个有趣的问题常常在面试中出现。为什么呢？因为解决办法有很多种。单单我知道的就有5种。你能解决这个问题吗？来Online Judge试试看吧！

 

提示

 

首先你要知道回文是什么。回文就是从左右两边读都一样的字符串。例如”aba”是回文，”abc”不是回文。

 

一个常见的错误

 

有人很快会想到这样一个方法。这个方法有缺陷，不过很容易修正。

 

翻转S成为S’。查找S和S’最长公共子串，就是S的最长回文子串。

 

 

 

看起来有道理的样子。用实例检验下。

 

例如S=”caba”，S’=”abac”。

 

S和S’的最长公共子串是”aba”，确实是S的最长回文子串。

 

 

 

再看个例子。

 

S=”abacdfgdcaba”，S’=”abacdgfdcaba”。

 

S和S’的最长公共子串是”abacd”，不过很明显这不是回文。

 

 

 

暴力穷举法O(N3)

 

最简单的就是暴力穷举(Brute Force)对每个start和end位置的子串进行检测，判断其是否回文。显然有C(N,2)（组合）个子串。检测每个子串都需要O(N)的时间，所以此方法的时间复杂度为O(N3)。

 

动态规划法O(N2)时间O(N2)空间

 

我们可以用动态规划(Dynamic Programming即DP)法对暴力穷举法进行改进。记住，诀窍就是避免重复计算（即重复检测同一子串）。考虑这个例子”ababa”。如果我们已经检测过”bab”是回文，那么只需判断一下最左右的两个字符（即两个a）是否相同即可判定”ababa”是否回文了。

 

总结起来就是：

 

定义二维数组P[i,j]用以表示Si…Sj是回文（true）或不是回文（false）

 

那么可知P[i,j] = (P[i + 1, j - 1] && Si ==Sj)

 

初始条件是：P[i, i]=true，P[i, i + 1] = (Si == Si+1)

 

这个DP法的思路就是，首先可以知道单个字符和两个相邻字符是否回文，然后检测连续三个字符是否回文，然后四个。。。

 

此算法时间复杂度O(N2)，空间复杂度O(N2)。伪代码如下。

 

 

 1 string longestPalindromeDP(string s) {

 2   int n = s.length();

 3   int longestBegin = 0;

 4   int maxLen = 1;

 5   bool table[1000][1000] = {false};

 6   for (int i = 0; i < n; i++) {

 7     table[i][i] = true;

 8   }

 9   for (int i = 0; i < n-1; i++) {

10     if (s[i] == s[i+1]) {

11       table[i][i+1] = true;

12       longestBegin = i;

13       maxLen = 2;

14     }

15   }

16   for (int len = 3; len <= n; len++) {

17     for (int i = 0; i < n-len+1; i++) {

18       int j = i+len-1;

19       if (s[i] == s[j] && table[i+1][j-1]) {

20         table[i][j] = true;

21         longestBegin = i;

22         maxLen = len;

23       }

24     }

25   }

26   return s.substr(longestBegin, maxLen);

27 }

 

 

提问：空间复杂度还能再改进吗？

 

更简单的算法O(N2)时间O(1)空间

 

下面介绍一个O(N2)时间O(1)空间的算法。

 

回文的特点，就是中心对称。对于有N个字符的字符串S，只有2N-1个中心。

 

为何是2N-1？因为两个字符之间的空档也可以是一个中心。例如”abba”的两个b中间就是一个中心。

 

围绕一个中心检测回文需要O(N)时间，所以总的时间复杂度是O(N2)。

 

 

 1 string expandAroundCenter(string s, int c1, int c2) {

 2   int l = c1, r = c2;

 3   int n = s.length();

 4   while (l >= 0 && r <= n-1 && s[l] == s[r]) {

 5     l--;

 6     r++;

 7   }

 8   return s.substr(l+1, r-l-1);

 9 }

10  

11 string longestPalindromeSimple(string s) {

12   int n = s.length();

13   if (n == 0) return "";

14   string longest = s.substr(0, 1);  // a single char itself is a palindrome

15   for (int i = 0; i < n-1; i++) {

16     string p1 = expandAroundCenter(s, i, i);

17     if (p1.length() > longest.length())

18       longest = p1;

19  

20     string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+1);

21     if (p2.length() > longest.length())

22       longest = p2;

23   }

24   return longest;

25 }