本文介绍了欧拉函数Euler phi的基本概念和性质，包括计算公式、欧拉定理与费马小定理。还探讨了Euler函数在求最大公倍数、最简真分数及特定条件下的数的个数等问题，并给出了相应问题的解决思路。
euler函数：对于一个数n，euler(n)的求的是在【1，n】之间与n互质的数的个数，公式为：euler(n) = n * (1 - 1/ p1) * (1 - 1/p2) * (1 - 1/p3) * ......*(1- 1/pn),其中p1,p2,.....pn是n的质因数，不重叠；
实现的算法是
typedef long long ll;
//直接求解欧拉函数
ll euler(ll x){ //返回euler(n)
ll ans = x;
for(ll i = 2;i*i <= x;i ++){
if(x%i == 0){
res = res / i * (i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
while(x % i == 0) x/=i;
}
}
if(x > 1) res = res / x * (x-1);//未除尽就说明x是素数，之后进行算式
return res;
}
//筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
ll euler[maxn];
void Init(){
euler[1] = 1;
for(ll i = 2;i < maxn;i ++)
euler[i] = i;
for(ll i = 2;i < maxn;i++)
if(euler[i] == i)
for(ll j = i;j < Max;j += i)
euler[j] = euler[j] / i * (i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}更快的时候就是用素数表进行euler函数的运算：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 50000 + 10;
bool is_prime[maxn];
int prime[maxn];
int len = 0;
void Init()//先打个50000的素数表
{
memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for(int i = 2; i < maxn ; i ++)
{
if(is_prime[i])
{
prime[len ++] = i;
for(int j = i * 2; j < maxn ; j += i)
is_prime[j] = false;
}
}
}
ll euler(ll x)
{
ll ans = x;
for(ll i = 0 ; prime[i] * prime[i] <= x && i < len; i ++)
{
if(x % prime[i])
{
ans = ans /prime[i] * (prime[i] - 1);
while(x % prime[i] == 0)
x /= prime[i];
}
}
if(x > 1)
ans = ans / x * (x - 1);
return ans;
}
int main()//因为公式中的是x的质因数，可以先打一个素数表，之后走素数表就行了
{
Init();
cout << euler(2) << endl;
return 0;
}
以上就是euler函数的实现方法，有打表和直接求；
euler的性质：
先写出两个常用定理：
1.euler定理：对于两个互质的数a，m（m>= 2），有a^(euler(m))
2.费马小定理：当m为质数的时候a^(m - 1)
3.如果p是质数，那么euler(p) = p - 1;推广：p是质数，a是一个正整数，那么 euler（p^n）= p^n - p^(n - 1);
4.如果m,n是互质的两个正整数，那么euler（n*m）= euler(n)*euler(m);
5.对于一个数n，euler(n)的求的是在【1，n】之间与n互质的数的个数，公式为：euler(n) = n * (1 - 1/ p1) * (1 - 1/p2) * (1 - 1/p3) * ......*(1- 1/pn),其中p1,p2,.....pn是n的质因数，不重叠；
6.当n为奇数时，有euler（2n）= euler(n);
7.若n是一个大于2的正整数，那么euler（n）是偶数，即euler（n）%2 == 0；
euler的应用：
1.运用euler求gcd;求小于n的数 并且与n的最大公倍数gcd为i的个数 : 假设是gcd(x,n) == i ,（x < n）;对于n来说，因数是i，那么说明 n/i 和 x/i互质，对于gcd(x,n) == i,如果i 一定，要 求 x的个数，就相当于求 与n/i互质的数的个数，即 x/i的个数，因为x<=n,要 求的个数就是euler(n/i)的数目；
2.求最简真分数，即 分子小于分母 并且 分子和分母互质的分数的个数 : 就相当于 对于一个固定的分母n，求出比小且与他互质的数的个数，即euler(n)；
题意：输入一个n,m，然后要求比n小的数与n的gcd大于m的个数，即gcd（x,n）>= m，其中x 属于【1，n】，求x的个数；
思路：遍历一遍，然后判断因数是不是 大于等于m，是的话就加上；
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
const int maxn = 3000000 + 10;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll euler(ll x)
{
ll ans = x;
for(int i = 2; i <= sqrt(x) ; i ++)
{
if(x % i == 0)
{
ans = ans / i * (i - 1);
while(x% i == 0)
x /= i;
}
}
if(x > 1)
ans = ans / x * (x - 1);
return ans;
}
int main()
{
ll n,m;
int Tcase;
scanf("%d",&Tcase);
for(int ii = 1; ii <= Tcase ; ii ++)
{
scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
double t = sqrt(n);
ll temp = euler(m);
ll ans = 0;
int i;
for(i = 1; i < t; i ++)
{
if(n % i == 0)
{
if(i >= m)
ans += euler(n/i);
if(n / i >= m )
ans += euler(i);
}
}
if(i * i == n && i >= m)
{
ans += euler(i);
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}The Euler Function
题意:直接的一个求euler，输入一个a,b，求出euler(x)之和，x属于【a,b】;
思路：打表一下；
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
const int maxn = 3000000 + 10;
using namespace std;
typedef long long ll;
//ll euler(ll x)
//{
// ll ans = x;
// for(int i = 2; i <= sqrt(x) ; i ++)
// {
// if(x % i == 0)
// {
// ans = ans / i * (i - 1);
// while(x% i == 0)
// x /= i;
// }
// }
// if(x > 1)
// ans = ans / x * (x - 1);
// return ans;
//}
int euler[maxn];
void Init()
{
for(int i = 2; i < maxn ; i ++)
euler[i] = 0;
euler[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn ; i ++)
{
if(!euler[i])
for(int j = i ; j < maxn ; j += i)
{
if( ! euler[j])
euler[j] = j;
euler[j] = euler[j] /i *(i - 1);
}
}
}
int main()
{
Init();
int n,m;
while( ~ scanf("%d%d",&n,&m) )
{
ll ans = 0;
for(int i = n ; i <= m ; i ++)
{
ans += euler[i];
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}题意：新朋友就是小于n，并且与互质的数，求新朋友的个数；
思路：因为x不能取n，所以gcd不能等于1，之后直接euler；
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
const int maxn = 3000000 + 10;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll euler(ll x)
{
ll ans = x;
for(int i = 2; i <= sqrt(x) ; i ++)
{
if(x % i == 0)
{
ans = ans / i * (i - 1);
while(x% i == 0)
x /= i;
}
}
if(x > 1)
ans = ans / x * (x - 1);
return ans;
}
int main()
{
ll n,m;
int Tcase;
scanf("%d",&Tcase);
for(int ii = 1; ii <= Tcase ; ii ++)
{
scanf("%I64d",&n);
double t = sqrt(n);
ll ans = 0;
int i ;
for(i = 1; i < t; i ++)
{
if(n % i == 0)
{
if(i > 1)
ans += euler(n/i);//公因数是i;
if(n / i > 1)
ans += euler(i);//公因数是n /i;
}
}
if(i * i == n && i != 1)
{
ans += euler(i);
}
cout << n - ans << endl;
}
return 0;
}
题意：求满足 gcd(n−a,n)×gcd(n−b,n)=nk
的a,b的数目：其中a,b属于【1，n】;
思路：gcd(0,x) == x，所以gcd(n - a ,n)是可以等于 n的；分析：k == 2的时候，只有a == b == n的时候，才能使得n * n == n ^ 2;
当k > 2的时候，除了n == 1的数都是0，因为前面最多是n ^2;
于是就剩下对k == 1的分析了，即gcd(n−a,n)×gcd(n−b,n)=n；
当n % i == 0的时候，如果 i * i != n，那么就存在两种情况： gcd(n - a,n) == i && gcd(n - b,n) == n /i || gcd(n - a,n) == n/i && gcd(n - b,n) == i;
反之，就是一种情况了：gcd(n - a,n) == gcd(n - b,n) == i了；
而对于类似 gcd(n - a,n) == i，而言，就相当于求小于n的数x ,求满足gcd(x,n) == i的数有多少个，用euler(n/i)就行了；
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 1000000000 + 7
ll euler(ll x)
{
int ans = x;
for(int i = 2; i * i <= x; i ++)
{
if(x % i == 0)
{
ans = ans / i * (i - 1);
while(x % i == 0)
{
x /= i;
}
}
}
if(x > 1)
{
ans = ans /x * (x - 1);
}
return ans;
}
int main()
{
ll n,k;
while( ~ scanf("%I64d%I64d",&n,&k) )
{
if(n == 1 )
{
cout << 1 << endl;
continue;
}
if(k > 2)
{
cout << 0 << endl;
continue;
}
if(k == 2)
{
cout << 1 << endl;
continue;
}
double t = sqrt(n);
ll ans = 0;
int i;
for(i = 1; i < t ; i ++)
{
if( n % i == 0 )//因为两个因数没有一个是能够达到n
{
ans += euler(i) * euler(n / i) * 2;
ans %= mod;
}
}
if(i * i == n)
{
ans += euler(i) * euler(i);//当两个因数相同的时候;
}
ans %= mod;
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
Longge's Problem
题意：
∑gcd(i, N) 1<=i <=N.
思路：找到n 的因数 i,然后然后与n的gcd == i的个数为 euler(n / i);
所以加上 i * gcd(n / i)就行了，记得特判一下i * i == n的情况；
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll euler(ll x)
{
ll ans = x;
for(int i = 2; i <= sqrt(x) ; i ++)
{
if(x % i == 0)
{
ans = ans / i * (i - 1);
while(x% i == 0)
x /= i;
}
}
if(x > 1)
ans = ans / x * (x - 1);
return ans;
}
int main()
{
ll n;
while( ~ scanf("%I64d",&n) )
{
ll ans = 0;
int i ;
for(i = 1; i < sqrt(n) ; i ++)
{
if(n % i == 0)
{
ans += i * euler(n/i) + n / i * euler(i);
}
}
if(i * i == n)
{
ans += i * euler(i);
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}Stern-Brocot Tree
不知道法里数列是什么。
题意：对于这样的一棵树的结构，有如下性质：
1. 关于1/1左右对称，左边的都是最简真分数小于1，右边都是相对于左边大于1的分数；
2. 只对左边的一半分析，第i行行添加的都是以i为分母的真分数，因为分子是小于分母i的，并且是最简真分数，所以分子的就相当于小于i并且与i互质的数，所以每行添加的分数的个数就是euler(i)；
思路：打表；
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1000000 + 10;
typedef long long ll;
ll euler[maxn];
ll ans[maxn];
void Init()
{
memset(euler,0,sizeof(euler));
euler[1] = 1;
for(int i = 2 ; i < maxn ; i ++)
{
if( !euler[i])
{
for(int j = i; j < maxn ; j += i)
{
if(!euler[j])
euler[j] = j;
euler[j] = euler[j] / i * (i- 1);
}
}
}
ans[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn ;i ++)
{
ans[i] = ans[i - 1] + euler[i];
}
}
int main()
{
Init();
int n;
while( ~ scanf("%d",&n) )
{
cout << ans[n] * 2 + 1 << endl;
}
return 0;
}
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