方法1:
动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。
比如01背包问题。
/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包,现在有N件物品,
它们的重量分别是W1,W2,...,Wn,
它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.
若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入格式:
M,N
W1,P1
W2,P2
......
输出格式:
X
*/
因为背包最大容量M未知。所以,我们的程序要从1到M一个一个的试。比如,开始任选N件物品的一个。看对应M的背包,能不能放进去,如果能放进去,并且还有多的空间,则,多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢?看下表。
测试数据:
10,3
3,4
4,5
5,6
c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.
这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候,最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候,最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候,则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候,很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)
从以上最大价值的构造过程中可以看出。
f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?
下面是实际程序:
#include<stdio.h>
int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/
int knapsack(int m,int n)
{
int i,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
scanf("/n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<100;j++)
c[i][j]=0;/*初始化数组*/
for(i=1;i<n+1;i++)
for(j=1;j<m+1;j++)
{
if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/
{
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/
/*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
else c[i][j]=c[i-1][j];
}
return(c[n][m]);
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("Input each one:/n");
printf("%d",knapsack(m,n));
printf("/n");/*下面是测试这个数组,可删除*/
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<15;j++)
{
printf("%d ",c[i][j]);
if(j==14)printf("/n");
}
system("pause");
}
方法2:
0-1背包问题是一个经典的动态规划问题,问题定义如下:有n个物品,其重量分别为W={w1, w1, w3, ... wn},其价值分别为V={v1, v2, v3, .. vn}。现在要将这N个物品放入允许的最大重量为w的包中,问怎样选择物品能使包中的物品总价值最大。
可以将背包问题划分成若干个子问题,关键在于如何对问题进行划分。现在将问题表述为在重量限制为w的情况下,求对前N个物品进行选择能得到的最大价值,即v[n, w]。对于一个物品i,求v[i, w']时有两种情况可供选择:若选中物品i,则所得的最大价值为v[i-1, w'-wi]+vi;若不选中物品i,则所得的最大价值为v[i-1, w']。选择二者之间的较大值即可求出最优解。因此,子问题可以分解成两个更小的子问题。
解决0-1背包问题的C++代码如下所示, 代码中用到了boost库中的multi_array:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

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23

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26

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30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

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问题描述:给定n种物品和一个背包,物品I的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为c,问如何选择装入背包的物品,使得装入背包的物品的总价值最大?
形式化描述:给定c求一个n元1-0向量Xi(每种物品要么装要么不装)
Wi Xi(i从1到n连乘累加,Xi=0或1)〈=c
Vi Xi(i从1到n连乘累加,Xi=0或1) 达到最大
---------------------------------------------------------------
高级程序员教程里有,不过,是递归算法实现背包问题;
try(物品i,当前选择已达到的重量和tw,本方案可能到达的总价值tv)
{ /* 考虑物品i包含在当前方案中的可能性 */
if(包含物品i是可接受的)
{
将物品i包含在当前方案中;
if(i<n-1)
{
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
}
else
{
/*又一个完整方案,因此比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
当前方案作为最佳方案保存;
}
恢复物品i不包含状态;
}
/*考虑物品i不包含在此方案中的可能性*/
if(不包含物品i仅是可能的)
{
if(i<n-1)
{
try(i+1,tw,tv-物品i的价值)
}
else
{
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为最佳方案保存;
}
}
}
---------------------------------------------------------------
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<=c;j++)
{
if(j+W[i]<=c && f[i-1][j]+V[i]>f[i][j+W[i]])
f[i][j+W[i]]=f[i-1][j]+V[i];
}
}
最大值是 max{ f[n-1][k] }(0<=k<=c)
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设f(n,w)表示前n个物品装w公斤重时的最大价值
递推式为
f(i,w)=max{f(i-1,w),f(i-1,w-wi)+vi}
算法如下:
开始时候f(0,i)=0 0<=i<=c
for i=1 to n
f(i,0)=0
for j=1 to c
f(i,j)=f(i-1,j)
if w(i)<=j and f(i,j)<f(i-1,j-w(i))+v(i) then
f(i,j)=f(i-1,j-w(i))+v(i)
end j
end i