0/1背包问题动态规划详解

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本文详细解析了0-1背包问题的三种解决方案，包括动态规划的经典应用、使用C++和boost库实现的代码示例及递归算法的实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

方法1：

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。
比如01背包问题。

/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，
它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,
它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.
若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
输出格式：
X
*/

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?

下面是实际程序:

#include<stdio.h>
int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/
int knapsack(int m,int n)
{
int i,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
        scanf("/n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
      for(j=0;j<100;j++)
           c[i][j]=0;/*初始化数组*/
for(i=1;i<n+1;i++)
      for(j=1;j<m+1;j++)
           {
            if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/
                     {
                      if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])

/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/

                         /*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
                            c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
                            else
                            c[i][j]=c[i-1][j];
                     }
              else c[i][j]=c[i-1][j];
            }
return(c[n][m]);

}
int main()
{
    int m,n;int i,j;
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one:/n");
    printf("%d",knapsack(m,n));
    printf("/n");/*下面是测试这个数组,可删除*/
     for(i=0;i<10;i++)
      for(j=0;j<15;j++)
         {
          printf("%d ",c[i][j]);
             if(j==14)printf("/n");
         }
    system("pause");
}

方法2：

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，问题定义如下：有n个物品，其重量分别为W={w1, w1, w3, ... wn}，其价值分别为V={v1, v2, v3, .. vn}。现在要将这N个物品放入允许的最大重量为w的包中，问怎样选择物品能使包中的物品总价值最大。

可以将背包问题划分成若干个子问题，关键在于如何对问题进行划分。现在将问题表述为在重量限制为w的情况下，求对前N个物品进行选择能得到的最大价值，即v[n, w]。对于一个物品i，求v[i, w']时有两种情况可供选择：若选中物品i，则所得的最大价值为v[i-1, w'-wi]+vi；若不选中物品i，则所得的最大价值为v[i-1, w']。选择二者之间的较大值即可求出最优解。因此，子问题可以分解成两个更小的子问题。

解决0-1背包问题的C++代码如下所示，代码中用到了boost库中的multi_array：

#include <iostream>
2

#include <boost/multi_array.hpp>
3

using namespace std;
5

// 动态规划解决0-1背包问题
7

void Knapsack(int weightArray[], int valueArray[], size_t length, int totalWeight)
8

{
9

// 价值表
10

boost::multi_array<int, 2> valueTable(boost::extents[length + 1][totalWeight + 1]);
11

// 选择表
12

boost::multi_array<bool, 2> selectionTable(boost::extents[length + 1][totalWeight + 1]);
13

// 初始化前0个物品的最大价值为0
14

for (size_t itemIdx = 0; itemIdx <= length; ++itemIdx)
15

{
16

valueTable[itemIdx][0] = 0;
17

}
18

// 初始化允许重量为0是的最大价值为0
19

for (int weightIdx = 0; weightIdx <= totalWeight; ++weightIdx)
20

{
21

valueTable[0][weightIdx] = 0;
22

}
23

// 从底层开始填写价值表和选择表
25

for (size_t itemIdx = 1; itemIdx <= length; ++itemIdx)
26

{
27

for (int weightIdx = 1; weightIdx <= totalWeight; ++weightIdx)
28

{
29

// 先计算不选择当前物品时的最大价值
30

int valueUnselected = valueTable[itemIdx - 1][weightIdx];
31

// 允许的重量需大于等于当前物品的重量，否则当前物品不可选
32

if (weightIdx >= weightArray[itemIdx - 1])
33

{
34

// 计算选择当前物品时的最大价值
35

int valueSelected = valueArray[itemIdx - 1] +
36

valueTable[itemIdx - 1][weightIdx - weightArray[itemIdx - 1]];
37

// 若选择当前物品时所得到的最大价值大于不选择时的最大价值，
38

// 则选择当前物品，并进行下一次循环
39

if (valueSelected >= valueUnselected)
40

{
41

valueTable[itemIdx][weightIdx] = valueSelected;
42

selectionTable[itemIdx][weightIdx] = true;
43

continue;
44

}
45

}
46

// 处理不选择当前物品的情况
48

valueTable[itemIdx][weightIdx] = valueUnselected;
49

selectionTable[itemIdx][weightIdx] = false;
50

}
51

}
52

// 打印最大值以及被选中的物品编号
54

cout << "最大价值为：" << valueTable[length][totalWeight] << endl;
55

cout << "以下编号的物品被选中：";
56

for (size_t itemIdx = length, weightIdx = totalWeight; itemIdx > 0; --itemIdx)
57

{
58

if (selectionTable[itemIdx][weightIdx])
59

{
60

cout << itemIdx << " ";
61

weightIdx -= weightArray[itemIdx - 1];
62

}
63

}
64

cout << endl;
65

}
66

int main()
68

{
69

int weights[] = {1, 2, 3, 2, 2};
70

int values[] = {8, 4, 0, 5, 3};
71

int totalWeight = 4;
72

Knapsack(weights, values, sizeof(weights) / sizeof(int), totalWeight);
73

return 0;
74

}

方法3：

问题描述：给定n种物品和一个背包，物品I的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为c，问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？

形式化描述：给定c求一个n元1-0向量Xi（每种物品要么装要么不装）
            Wi Xi（i从1到n连乘累加，Xi=0或1）〈=c
            Vi Xi（i从1到n连乘累加，Xi=0或1）达到最大

---------------------------------------------------------------

高级程序员教程里有，不过，是递归算法实现背包问题；

try(物品i，当前选择已达到的重量和tw,本方案可能到达的总价值tv)
{ /* 考虑物品i包含在当前方案中的可能性 */
   if(包含物品i是可接受的）
      {
         将物品i包含在当前方案中；
         if(i<n-1)
           {
             try(i+1,tw+物品i的重量，tv);
            }
         else
           {
             /*又一个完整方案，因此比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
             当前方案作为最佳方案保存；
            }
         恢复物品i不包含状态；
      }
   /*考虑物品i不包含在此方案中的可能性*/
   if(不包含物品i仅是可能的）
     {
          if(i<n-1)
             {
                try(i+1,tw,tv-物品i的价值)
              }
          else
             {
              /*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/
              以当前方案作为最佳方案保存；
             }
      }
}

---------------------------------------------------------------

for(int i=1;i<n;i++)
{
   for(int j=0;j<=c;j++)
   {
      if(j+W[i]<=c && f[i-1][j]+V[i]>f[i][j+W[i]])
         f[i][j+W[i]]=f[i-1][j]+V[i];
   }
}

最大值是 max{ f[n-1][k] }(0<=k<=c)

---------------------------------------------------------------

设f(n,w)表示前n个物品装w公斤重时的最大价值
递推式为
f(i,w)=max{f(i-1,w),f(i-1,w-wi)+vi}
算法如下：
开始时候f(0,i)=0  0<=i<=c
for i=1 to n
  f(i,0)=0
  for j=1 to c
    f(i,j)=f(i-1,j)
    if w(i)<=j and f(i,j)<f(i-1,j-w(i))+v(i) then
       f(i,j)=f(i-1,j-w(i))+v(i)
  end j
end i