树

平衡树

      对一棵 search tree 进行查询/新增/删除 等动作, 所花的时间与树的高度 h 成比例, 并不与树的容量 n 成比例。 如果可以让树维持矮矮胖胖的好身材, 也就是让 h 维持在 O(lg n), 上述工作就很省时间。 能够一直维持好身材, 不因新增删除而长歪的搜寻树, 叫做 balanced search tree 平衡树。
B树

    一种适用于外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树，其定义如下：

　　一棵m阶的B-树满足下列条件：

　　⑴ 树中每个结点至多有m个孩子；

　　⑵ 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有m/2个孩子；

　　⑶ 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子；

　　⑷ 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息；

　　⑸ 有k个孩子的非终端结点恰好包含有k-1个关键字。

　　在B-树中，每个结点中关键字从小到大排列，并且当该结点的孩子是非叶子结点时，该k-1个关键字正好是k个孩子包含的关键字的值域的分划。

　　B-树的查找:

　　在B-树中查找给定关键字的方法是，首先把根结点取来，在根结点所包含的关键字K1,…,kj查找给定的关键字（可用顺序查找或二分查找法），若找到等于给定值的关键字，则查找成功；否则，一定可以确定要查的关键字在某个Ki或Ki+1之间，于是取Pi所指的结点继续查找，直到找到，或指针Pi为空时查找失败。

 

      B-树的插入:

　　当在叶子结点处于第L+1层的B树中插入关键字时，被插入的关键字总是进入第L层的结点。

　　若在一个包含j<m-1个关键字的结点中插入一个新的关键字，则把新的关键字直接插入该结点即可；但若把一个新的关键字插入到包含m-1（m为B-树的阶）个关键字的结点中，则将引起结点的分裂。在这种情况下，要把这个结点分裂为两个，并把中间的一个关键字拿出来插到该结点的双亲结点中去，双亲结点也可能是满的，就需要再分裂、再往上插，从而可能导致B-树可能朝着根的方向生长。

     B-树的删除:

　　当从B-树中删除一个关键字Ki时，总的分为以下两种情况：

　　如果该关键字所在的结点不是最下层的非叶子结点，则先需要把此关键字与它在B-树中后继对换位置，即以指针Pi所指子树中的最小关键字Y代替Ki，然后在相应的结点中删除Y。

　　如果该关键字所在的结点正好是最下层的非叶子结点，这种情况下，会有以下两种可能：

　　① 若该关键字Ki所在结点中的关键字个数不小于┌m/2┐，则可以直接从该结点中删除该关键字和相应指针即可。

　　② 若该关键字Ki所在结点中的关键字个数小于┌m/2┐，则直接从结点中删除关键字会导致此结点中所含关键字个数小于┌m/2┐-1 。这种情况下，需考察该结点在B树中的左或右兄弟结点，从兄弟结点中移若干个关键字到该结点中来（这也涉及它们的双亲结点中的一个关键字要作相应变化），使两个结点中所含关键字个数基本相同；但如果其兄弟结点的关键字个数也很少，刚好等于┌m/2┐-1 ，这种移动则不能进行，这种情形下，需要把删除了关键字Ki的结点、它的兄弟结点及它们双亲结点中的一个关键字合并为一个结点。