【编程之美】读书笔记：寻找最大的K个数

xiaoding133

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原创最新推荐文章于 2026-03-23 16:20:52 发布 3.3w 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【数据结构】TopK问题手把手教你TopK算法阅读详情

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方法一：常规解法,先排序(时间复杂度为O(N*logN))
方法二：利用快速排序原理(时间复杂度O(N*logK)(掌握)
方法三：利用最小堆的原理(时间复杂度为O(N*logK))(掌握)
方法四：二分法(在实际应用中效果不佳)
方法五：用空间换取时间的方法

问题：查找大量无序元素中最大的K个数。

解法一：该解法是大部分能想到的，也是第一想到的方法。假设数据量不大，可以先用快速排序或堆排序，他们的平均时间复杂度为O(N*logN),然后取出前K个，时间复杂度为O(K)，总的时间复杂度为O(N*logN)+O(K).
当K=1时，上面的算法的时间复杂度也是O(N*logN)，上面的算法是把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的K个数，并不需要前K个数有限，也不需要后N-K个数有序。可以通过部分排序算法如选择排序和交换排序，把N个数中的前K个数排序出来，复杂度为O(N*K),选择哪一个，取决于K的大小，在K(K<logN)较小的情况下，选择部分排序。

         解法二：(掌握)避免对前K个数进行排序来获取更好的性能(利用快速排序的原理)。
      假设N个数存储在数组S中，从数组中随机找一个元素X，将数组分成两部分Sa和Sb.Sa中的元素大于等于X,Sb中的元素小于X。
    出现如下两种情况：
   (1)若Sa组的个数大于或等于K，则继续在sa分组中找取最大的K个数字。
   (2)若Sa组中的数字小于K ，其个数为T，则继续在sb中找取 K-T个数字。
   一直这样递归下去，不断把问题分解成小问题，平均时间复杂度为O(N*logK)。
   代码如下：

/*将数组a[s]...a[t]中的元素用一个元素划开，保存中a[k]中*/
void partition(int a[], int s,int t,int &k)  
{  
    int i,j,x;  
    x=a[s];    //取划分元素   
    i=s;        //扫描指针初值   
    j=t;  
    do  
    {  
        while((a[j]<x)&&i<j) j--;   //从右向左扫描,如果是比划分元素小，则不动
        if(i<j) a[i++]=a[j];           //大元素向左边移   
        while((a[i]>=x)&&i<j) i++;      //从左向右扫描，如果是比划分元素大，则不动 
        if(i<j) a[j--]=a[i];            //小元素向右边移   
  
    }while(i<j); //直到指针i与j相等    
a[i]=x;      //划分元素就位   
k=i;  
}  
/*查找数组前K个最大的元素，index:返回数组中最大元素中第K个元素的下标(从0开始编号),high为数组最大下标*/
int FindKMax(int a[],int low,int high,int k)
{ 
     int q;
int index=-1;
   if(low < high)  
      {  
        partition(a , low , high,q);  
        int len = q - low + 1; //表示第几个位置    
        if(len == k)  
         index=q; //返回第k个位置   
        else if(len < k)   
         index= FindKMax(a , q + 1 , high , k-len);     
       else 
        index=FindKMax(a , low , q - 1, k);  
      }  
    return index;

}
int main()
{
     int a[]={20,100,4,2,87,9,8,5,46,26};  
    int Len=sizeof(a)/sizeof(int); 
     int K=4;
 FindKMax(a , 0 , Len- 1 , K) ;    
    for(int i = 0 ; i < K ; i++)  
      cout<<a[i]<<" ";  
 return 0;
}

解法三:(掌握)用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中的最小的一个。每次扫描一个数据X，如果X比堆顶元素Y小，则不需要改变原来的堆。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶元素Y，在替换之后，X可能破坏了最小堆的结构，需要调整堆来维持堆的性质。调整过程时间复杂度为O(logK)。全部的时间复杂度为O(N*logK)。
这种方法当数据量比较大的时候，比较方便。因为对所有的数据只会遍历一次，第一种方法则会多次遍历数组。如果所查找的K的数量比较大。可以考虑先求出k` ，然后再求出看k`+1 到 2 * k`之间的数据，然后一次求取。

代码如下：

void heapifymin(int Array[],int i,int size)
 {
    if(i<size)
 {
  int left=2*i+1;
  int right=2*i+2;
  int smallest=i;//假设最小的节点为父结点
  //确定三个结点中的最大结点
  if(left<size)
  {
   if(Array[smallest]>Array[left])
    smallest=left;
  }
  if(right<size)
  {
          if(Array[smallest]>Array[right])
    smallest=right;
  }

  //开始交换父结点和最大的子结点
       if(smallest!=i)
    {
     int temp=Array[smallest];
     Array[smallest]=Array[i];
     Array[i]=temp;
     heapifymin(Array,smallest,size);//对调整的结点做同样的交换
    }
 }
 }

//建堆过程，建立最小堆,从最后一个结点开始调整为最小堆
void min_heapify(int Array[],int size)
 {
  int i;
  for(i=size-1;i>=0;i--)
   heapifymin(Array,i,size);
  
 }
 //k为需要查找的最大元素个数，size为数组大小，kMax存储k个元素的最小堆
void FindMax(int Array[],int k,int size,int kMax[])
{

  for(int i=0;i<k;i++)
   kMax[i]=Array[i];
 //对kMax中的元素建立最小堆
   min_heapify(kMax,k);
 printf("最小堆如下所示 : \n");
for(i=0;i<k;i++)
printf("%4d",kMax[i]);
printf("\n");

 for(int j=k;j<size;j++)
  {
     if(Array[j]>kMax[0]) //如果最小堆的堆顶元素，替换
  {
        int temp=kMax[0];
  kMax[0]=Array[j];
     Array[j]=temp;
  //可能破坏堆结构，调整kMax堆
  min_heapify(kMax,k);
  }
  

  }


 
}

int main()
{
    
 int a[]={10,23,8,2,52,35,7,1,12};
 int length=sizeof(a)/sizeof(int);

    //最大四个元素为23,52,35,12
/***************查找数组中前K个最大的元素****************/
 int k=4;
 int * kMax=(int *)malloc(k*sizeof(int));
 FindMax(a,k,length,kMax);

   printf("最大的%d个元素如下所示 : \n",k);
    for(int i=0;i<k;i++)
        printf("%4d",kMax[i]);
 printf("\n");
 return 0;
}

解法四：这也是寻找Ｎ个数中的第Ｋ大的数算法。利用二分的方法求取TOP k问题。首先查找 max 和 min，然后计算出mid = (max + min) / 2该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。

const int N = 8 ;  
 const int K = 4 ;  
   
 /* 
 利用二分的方法求取TOP k问题。 
 首先查找 max 和 min，然后计算出 mid = (max + min) / 2 
 该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。  
  
  
 */  
   
 int find(int * a , int x) //查询出大于或者等于x的元素个数    
 {  
     int sum = 0 ;  
       
     for(int i = 0 ; i < N ; i++ )  
     {   
        if(a[i] >= x)  
          sum++ ;                  
     }  
      return sum ;  
 }  
   
 
 int getK(int * a , int max , int min) //最终max min之间只会存在一个或者多个相同的数字    
 {  
     while(max - min > 1)             //max - min的值应该保证比两个最小的元素之差要小    
      {  
        int mid = (max + min) / 2 ;  
        int num = find(a , mid) ;    //返回比mid大的数字个数    
        if(num >= K)                 //最大的k个数目都要比min值大    
           min = mid ;                 
        else  
           max = mid  ;  
      }  
      cout<<"end"<<endl;  
      return min ;  
 }  
   
 int main()  
 {  
   int a[N] = {54, 2 ,5 ,11 ,554 ,65 ,33 ,2} ;    
   int x = getK(a , 554 , 2) ;   
   cout<<x<<endl ;   
   getchar() ;   
   return 0 ;      
 }

该算法在实际应用中效果不佳。

解法五：如果N个数都是正数，取值范围不太大，可以考虑用空间换时间。申请一个包括N中最大值的MAXN大小的数组count[MAXN]，count[i]表示整数i在所有整数中的个数。这样只要扫描一遍数组，就可以得到第K大的元素。
代码如下：

for(sumCount = 0, v = MAXN -1; v >=0; v--)  
{  
       cumCount += count[v];  
       if(sumCount >= k)  
            break;  
}  
return v;

        扩展问题：
1.如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
     解答：除了解法五不行，其他的都可以。因为最后一种需要是正数。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
       解答：可以用小根堆来先求出m个最大的，然后从中输出k到m个。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
   解答：(解法三)用堆排序当每一个网页权重更新的时候，更新堆。

举一反三：查找最小的K个元素

解答：最直观的方法是用快速排序或堆排序先排好，在取前K小的数据。最好的办法是利用解法二和解法三的原理进行查找。

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