堆排序

堆的起源：1991年计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同发明了著名的堆排序算法（ Heap Sort )

堆的定义：n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为（Heap），当且仅当该序列满足如下性质（简称为堆性质）：(1)ki<=k(2i）且ki<=k(2i+1)(1≤i≤ n），当然，这是小根堆，大根堆则换成>=号。//k(i）相当于二叉树的非叶结点，K(2i）则是左孩子，k(2i+1）是右孩子

若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：

树中任一非叶结点的关键字均不大于（或不小于）其左右孩子（若存在）结点的关键字。

堆排序：

堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。

　　（1）用大根堆排序的基本思想

　　① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

　　② 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key

　　③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。

　　……

　　直到无序区只有一个元素为止。

　　（2）大根堆排序算法的基本操作：

　　① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；

　　② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆（亦称重建堆）。

　　注意：

　　①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。

　　②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止

（以上蓝色字引用自360百科）。

#include<iostream>
using namespace std;
//heapsize 为当前堆的元素数
int heapsize = 0;
//使得以i为根节点的子树为最大堆
void maxHeapify(int *A,int i)
{
    int l;
    int r;
   l = 2*i;
   r = 2*i+1;
   int largest;
   if(l<=heapsize && A[l-1]>A[i-1])
   {
       largest = l;
   }
   else
   {
       largest = i;
   }
   if(r <= heapsize && A[r-1]>A[largest-1])
   {
       largest = r;
   }
   if(largest != i)
   {
       int key;
       key =A[i-1];
       A[i-1]=A[largest-1];
       A[largest -1]=key;
       maxHeapify(A,largest);
   }
}
//自下而上的建立最大堆
void buildMaxHeap(int *A,int n)
{
    heapsize = n;
    for(int i = n/2;i>0;i--)
    {
        maxHeapify(A,i);
    }
}
//堆排序
void heapSort(int * A,int n)
{
    buildMaxHeap(A,n);
    int key;
    for(int i = n; i>1;i--)
    {
        key = A[0];
        A[0]=A[i-1];
        A[i-1]=key;
        heapsize--;
        maxHeapify(A,1);
    }
}
int main()
{
    cout <<"您将为几个整数进行排序？"<<endl;
    int n;
    cin >> n;
    int * A = new int[n];
    cout<<"输入数组"<<endl;
    for(int i = 0 ;i < n ;i++)
    {
        cin >> A[i];
    }
    heapSort(A,n);
    for(int i = 0;i<n;i++)
    {
       cout << A[i]<<"  ";
    }
    delete [] A;
    return 0;
}