E. Product Oriented Recurrence（矩阵快速幂）

Let ??=?2?−6⋅??−1⋅??−2⋅??−3fx=c2x−6⋅fx−1⋅fx−2⋅fx−3 for ?≥4x≥4.

You have given integers ?n, ?1f1, ?2f2, ?3f3, and ?c. Find ??mod(109+7)fnmod(109+7).

Input

The only line contains five integers ?n, ?1f1, ?2f2, ?3f3, and ?c (4≤?≤10184≤n≤1018, 1≤?11≤f1, ?2f2, ?3f3, ?≤109c≤109).

思路 :原式可化为： c^x*  ??=?^(?−1)⋅??−1⋅c^(x-2)^??−2⋅c^(x-3)⋅??−3   因此设gx=c^x⋅fx。因此原式转化成gx=gx-1⋅gx-2⋅gx-3

我们只看每一项的指数  ，每一项指数满足：xn=xn-1+xn-2+xn-3   因此本题转化为矩阵快速幂的模版题 算出对应的幂次  矩阵快速幂详解  注意这里不能直接对指数取膜  详见：欧拉降幂

 

 #include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
#define rep(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);++i)
using namespace std;
const int N=1e6+10;
const int mo=1e9+7;
//矩阵
struct mt{
    ll a[3][3];
    ll* operator [](int x){return a[x];}
    const ll* operator [](int x)const{return a[x];}
    friend mt operator *(const mt&a,const mt&b){mt c;
        for(int i=0;i<=2;i++)
            for(int j=0;j<=2;j++)
                c[i][j]=(a[i][0]*b[0][j]+a[i][1]*b[1][j]+a[i][2]*b[2][j])%(mo-1);
        return c;
    }
};
//矩阵快速幂
mt qk(mt r,mt x,ll n){
    for(;n;n>>=1){
        if(n&1)r=r*x;x=x*x;
    }return r;
}
ll mod;
ll qpow(ll a, ll n)
{
    ll re = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            re = (re * a) % mo;
        n >>= 1;
        a = (a * a) % mo;
    }
    return re % mo;
}
int main(){
    ll n,f1,f2,f3,c;
    ll g1,g2,g3;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&f1,&f2,&f3,&c);
    g1=f1*c%mo;
    g2=f2*c%mo*c%mo;
    g3=f3*c%mo*c%mo*c%mo;
    int res1[][3]={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}};
    int res2[][3]={{1,1,0},{1,0,1},{1,0,0}};
    mt r1,r2;
    for(int i=0;i<=2;i++){
        for(int j=0;j<=2;j++){
            r1.a[i][j]=res1[i][j];
            r2.a[i][j]=res2[i][j];
        }
    }
    mt res=qk(r1,r2,n-3);
    ll gn=qpow(g1,res[2][0])*qpow(g2,res[1][0])%mo*qpow(g3,res[0][0])%mo;
    printf("%lld\n",gn*qpow(qpow(c,n),mo-2)%mo);
}