加强版斐波那契数列（矩阵快速幂）

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快速幂

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本文介绍如何使用矩阵快速幂解决一个加强版斐波那契数列问题，给出具体的C++代码实现，并详细解释了如何从普通斐波那契数列递推式转换到适用于快速幂的矩阵形式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

关于快速幂的讲解可以参见我的上一篇博客《快速幂》

题目链接：又见斐波那契

题目描述

这是一个加强版的斐波那契数列。

给定递推式

求F(n)的值，由于这个值可能太大，请对10 9+7取模。

输入描述:

第一行是一个整数T(1 ≤ T ≤ 1000)，表示样例的个数。
以后每个样例一行，是一个整数n(1 ≤ n ≤ 1018)。

输出描述:

每个样例输出一行，一个整数，表示F(n) mod 1000000007。

示例1

输入

输出

这个相比普通的斐波那契数列多了后面四项，看一眼数据范围，使用普通的o（n）的算法肯定会超时，

因此这里需要使用矩阵快速幂（斐波那契数列的项数n一旦过大，就要考虑快速幂，普通算法时间空间都开销太大）。

使用矩阵快速幂的一个关键问题就是矩阵递推式。

参考普通快速幂那一片博客最后面的那个扩展式，就可以得到下面这个递推式了：

然后通过计算等价替换可得出该矩阵A：

下面只需要把普通斐波那契数列的构造由2*2的矩阵换为6*6的即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector> 
#include <cstring>
 
using namespace std;

typedef long long ll;

// 用二维vector来表示矩阵 
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;

// 模 
const int M = 1000000007;

// 计算 A*B
mat mul(mat& A, mat& B) {
	mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
	for ( int i = 0 ; i < A.size() ; ++ i ) {
		for ( int k = 0 ; k < B.size() ; ++ k ) {
			for ( int j = 0 ; j < B[0].size() ; ++ j ) {
				C[i][j] = (C[i][j]+A[i][k]*B[k][j]%M)%M;
			}
		}
	}
	return C;
}

// 计算 A^B
mat pow(mat A, ll n) {
	mat B(A.size(), vec(A.size()));
	for ( int i = 0 ; i < A.size() ; ++ i ) {
		B[i][i] = 1;
	}
	while ( n > 0 ) {
		if ( n & 1 ) B = mul(B, A);
		A = mul(A, A);
		n >>= 1;
	}
	return B;
} 

int main()
{
    int T;
    scanf( "%d", &T );
    ll n;
    mat A(6, vec(6));
    while ( T -- ) {
        scanf( "%lld", &n );
        if ( n == 0 ) { puts( "0" ); continue; }
        if ( n == 1 ) { puts( "1" ); continue; }
        for ( int i = 0 ; i < 6 ; ++ i ) {
        	for ( int j = 0 ; j < 6 ; ++ j ) {
        		A[i][j] = 0;
        	}
        }
        A[0][0] = 1; A[0][1] = 1; A[0][2] = 1; A[0][3] = 4; A[0][4] = 6; A[0][5] = 4;
        A[1][0] = 1;
        A[2][2] = 1; A[2][3] = 3; A[2][4] = 3; A[2][5] = 1;
        A[3][3] = 1; A[3][4] = 2; A[3][5] = 1;
        A[4][4] = 1; A[4][5] = 1;
        A[5][5] = 1;
        A = pow(A, n-1);
        ll ans = 0;
        for ( int i = 0 ; i < 6 ; ++ i ) {
        	if ( i == 1 ) continue;
			ans = (ans+A[0][i])%M;
        }
		printf( "%lld\n", ans );
    }  
    return 0;
}