The Luckiest number POJ - 3696 (欧拉定理)

最新推荐文章于 2021-11-08 19:40:00 发布

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本文探讨了如何使用欧拉定理解决特定数学问题，即寻找最短全8序列的长度，作为Bob的幸运数字。文章详细介绍了从暴力枚举到运用欧拉定理的转变过程，包括代码实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：对于给定的整数L，找出L能整除最短的全8序列的长度，做为Bob的幸运数字。

解析：一开始做这个题的时候直接莽夫式做法，枚举8的位数，交一发直接wa，想想也是，没给8的位数的上限，暴力枚举8的话肯定要爆longlong的。。。

正确的做法居然是用欧拉定理。我们可以通过题意列出下式：8/9 * （10^x-1）=L * p
根据欧拉定理我们知道：10^Φ（m）≡1（mod m）。我们要做的就是把根据题目推出来的式子化成欧拉定理的式子（这个具体的推导过程真的没想出来，参考了大神的博客才懂：戳这里）具体就不赘述了，代码描述的还是很清楚的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
struct node{
    ll cnt;
    ll p;
};
node num[100];
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll Euler(ll n){//欧拉函数
    ll ret=1,i;
    for(i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            n/=i;ret*=i-1;
            while(n%i==0){
                n/=i;ret*=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)ret*=n-1;
    return ret;
}
ll solve(ll n){//基本算数定理  用num记录下n由那些素数组成，这些素数分别有几个
    int t=0;
    for(ll i=2;i*i<n;i++){
        if(n%i==0){
            num[t].p=i;
            num[t].cnt=0;
            while(n%i==0){
                num[t].cnt++;
                n/=i;
            }
            t++;
        }
    }
    if(n>1){
        num[t].p=n;
        num[t].cnt=1;
        t++;
    }
    return t;//返回素数的种类
}
ll multi(ll a,ll b,ll c) {//由于爆int 所以用的快速乘法和快速幂
    ll ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans += a;ans %= c;
        }
        a += a;a %= c;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll Pow(ll a, ll b, ll c) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = multi(ans, a, c);
        }
        a = multi(a, a, c);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    ll L;
    int ca=1;
    while(cin>>L,L){
        ll m=9*L/gcd(L,8);
        if(gcd(10,m)!=1){
            printf("Case %d: 0\n",ca++);
            continue;
        }
        ll pi=Euler(m);
        ll cnt=solve(pi);
        for(int i=0;i<cnt;i++){//缩小pi，找到满足条件的最小的pi
            for(int j=0;j<num[i].cnt;j++){
                if(Pow(10,pi/num[i].p,m)==1){
                    pi/=num[i].p;
                }
            }
        }
        printf("Case %d: %lld\n",ca++,pi);
    }
    return 0;
}