19、行为概率加权下的相互依赖安全博弈分析

行为概率加权下的相互依赖安全博弈分析

在安全投资决策领域，玩家对攻击概率的感知会影响他们的决策行为。本文围绕相互依赖安全博弈展开，分析了玩家在不同概率加权情况下的策略选择，以及这些选择对攻击概率和社会福利的影响。

1. 总努力博弈中的均衡与概率加权

在总努力博弈中，当玩家数量 $N$ 增加时，成功攻击的真实概率 $X_2$ 会逐渐增加到 1。这与风险中性玩家（$\alpha = 1$）的情况不同，风险中性玩家的成功攻击概率会在玩家数量超过某一阈值时从 0 突然跳到 1。

在行为概率加权下，还可能存在一种均衡，即所有玩家都投资 1。这是因为小概率事件被过度加权，$\alpha < 1$ 的玩家认为减少投资带来的攻击概率小幅度增加会被放大，所以不会选择减少投资（搭便车）。

1.1 比较静态分析

考虑两个总努力博弈，参数 $N$、$b$ 和 $L$ 相同，玩家的加权参数分别为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$（$\alpha_1 < \alpha_2 < \frac{Nb}{L}$）。根据命题 2，两个博弈都有内部纯纳什均衡（PNE），对应的成功攻击真实概率分别为 $X_1^2$ 和 $X_2^2$。

对于 $i \in {1, 2}$，$X_i^2 > \frac{1}{e}$，是方程 $w_i’(x) = \frac{Nb}{L}$ 的解，其中 $w_i(x)$ 是加权参数为 $\alpha_i$ 的 Prelec 函数。

通过以下引理和命题可以证明：
- 引理 1 ：函数 $g(x) = (-\ln(x))^{\