线性规划-内点法初探

参考:最优化理论与算法(第2版)(陈宝林)

书中首先介绍了将一般线性规划问题转化为Karmarkar标准问题求解,为简化计算,Karmarkar等人又给出了内点法以求解线性规划问题,此部分在书中为*号引申内容,介绍较为简略,此处也是对书中内容做简要的补充。

考虑如下线性规划问题
max⁡cTx s. t. Ax⩽b\begin{array}{ll} \max & \boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \\ \text { s. t. } & \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leqslant \boldsymbol{b} \end{array}max s. t. cTxAxb
其中:c,x∈Rn\boldsymbol{c}, x \in \mathbb{R}^nc,xRnA 是 m×n矩阵, m⩾n. \boldsymbol{A} \text { 是 } m \times n \text {矩阵, } m \geqslant n \text {. }A  m×n矩阵mn
算法的基本思想,是从内点 x(0)\boldsymbol{x}^{(0)}x(0) 出发,沿可行方向求出使目标函数值上升的后继点,再从得到的内点出发, 沿另一个可行方向求使目标函数值上升的内点。

将问题进行松弛:
max⁡cTx s. t. Ax+v=b,v⩾0.\begin{array}{ll} \max & \boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \\ \text { s. t. } & \boldsymbol{A x}+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{b}, \\ & \boldsymbol{v} \geqslant \mathbf{0} . \end{array}max s. t. cTxAx+v=b,v0.
对于第k轮迭代,即有
v(k)=b−Ax(k)\boldsymbol{v}^{(k)}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}^{(k)}v(k)=bAx(k)

  • 随后进行Affine Scaling,这是因为:当 xk\boldsymbol{x}^kxk 是非常接近边界又不是最优解时, 步长将被迫选得非常小, 到最优解的收敛将非常慢
  • 故:若当前解 xk\boldsymbol{x}^kxk 不是很靠近 “中心”, 需要将坐标重新拉伸 (re-scale), (仿射) 变换到靠近 “中心”的位置
  • 如何定义一个可行域的中心: 在这里插入图片描述
    xk=e\mathbf{x}^k=\mathbf{e}xk=e, 则
    (1) xk\mathbf{x}^kxk 距离边界 1 个单位.
    (2) 因此只要步长 αk<1\alpha^k<1αk<1, 则可确保 xk+1>0\boldsymbol{x}^{k+1}>\mathbf{0}xk+1>0.

故可以定义对角矩阵:Dk=diag⁡(1v1(k),⋯ ,1vm(k)).\boldsymbol{D}_k=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{v_1^{(k)}}, \cdots, \frac{1}{v_m^{(k)}}\right) .Dk=diag(v1(k)1,,vm(k)1

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

idkmn_

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付:¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足,请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值