二分法(算法）

定义：二分查找算法也称折半搜索算法，对数搜索算法，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半，时间复杂度是log(n)

• 一是有序数组（这里可能是整体有序比如[1,2,3,4,5]，也有可能是局部有序比如[4,5,1,2,3]），
• 二是特定元素（也有可能是满足特定的条件）。由定义我们大概就知道了二分法的应用场景，在有序数组中找特定值都可以考虑用二分法

二分法的步骤：

我们要确定一个区间[L，R]我们要找到一个性质（由题目条件决定），并且该性质满足一下两点： ①满足二段性 ②答案是二段性的分界点

注：由答案和数据的关系进行二分查找的算法是最常见的

我们要在一组升序的数组找一个数的下标，那我们肯定是先拿中间的与他进行比较，比较大小的判断，其实就相当于是这个性质，且这个性质满足二段性，将大于和小于我们要查找的值分为两段，而我们的查找结果就是分界点

有二段性的答案就是满足二分查找法的重要标志之一

所谓二段性，就是数组一定有一段左侧区域严格满足某一性质（即is_blue返回true），右侧严格满足另一性质，这两种性质必须是严格互斥的，这两段中间即为二段性边界。

二分法的使用条件：

①上下界确定 ②区间内有序（也可以是局部有序）

二分法的目的：

二分查找用于在多条记录中快速找到待查找的记录，它的思想是：每次将查找的范围缩小一半，直到最后找到记录或者找不到记录返回

标准解题模板：
 

def check():
    **# check为题目中判断条件**
    pass
 
def bin_search(a, n, x):
    l, r = -1, n + 1
    while l + 1 != r:
        mid = (l+r) // 2
        if check(mid):
            l = mid
        else:
            r = mid
    return (l or r) # 选取需要的部分进行返回

模板分析：

左右指针均指向数组外，这样移动时直接使 *l*,r=mid即可——*相当于自动完成了+1和-1的操作*
返回左边界，则当≤目标值时移动 *l* ; 返回右边界，则当≥目标值时移动 r
终止条件为r=*l*+1 ——*这里相当于左闭右开，即此时区间内只有left对应的元素*

下面给大家带来两个例题供大家学习和参考

例题一:可凑成的最大花束数

思路：利用答案二分是最常考的一种方式，假设可以打包成每组x个花束，那么我们就能得知x*k<=sum的，我们只需要将所有的花相加得到sum，再判断其和x，k的关系即可，若是x*k<=sum，则表示x还能取得更多，更新l=mid，若是x*k>=sum，表示不能够满足，更新r=mid。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 200001;
ll n,k,a[N];

bool check(ll x){
  //检查x*k和res的关系
  ll res=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    res+=min(a[i],x);
  }
  return res/k>=x;
}

int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>k;
  ll sum=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>a[i];sum+=a[i];
  }
  ll l=0,r=sum+1;
  ll mid=0;
  while((l+1)!=r){
    mid=(r+l)>>1;
    if(check(mid)){
      l=mid;
    }else{
      r=mid;
    }
  }
  cout<<l;
  return 0;
}

例题二：最大通过数

思路：单纯用贪心算法无法同时考虑两个数组，观察发现我们只需要知道左入口通关的任务数x和右入口通关的任务数y，寻找min（x+y）即可，循环一次就加一次耗费时间太长，由于只要计算可以到达的最大卡关之和不需要考虑具体的xy，所以我们可以通过前缀和求x和y，再通过定x用二分法求y的方式进行查找最优x+y。

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 200001;
ll n,m,k,a[N],b[N];

bool check(ll x){
  //x代表一共通过的任务
  ll res=1e10+1; //表示可以通过的最小的能源
  int j=0;//右入口
  for(int i=0;i<=n;i++){
    j=x-i;
    if(j<0)break;
    if(j>m)continue;
    else res=min(res,(a[i]+b[j]));
  }
  if(res>k)return true;
  else{
    return false;
  }
}

int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>m>>k;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>a[i];a[i]+=a[i-1];
  }
  for(int i=1;i<=m;i++){
    cin>>b[i];b[i]+=b[i-1];
  }
  ll l=0,r=n+m+1;
  while(l+1<r){
    ll mid=(r+l)>>1;
    if(check(mid)){
      r=mid;
    }else{
      l=mid;
    }
  }
  cout<<l;
  return 0;
}