【树和森林】数据结构 C++

什么是树? 树(Tree)是n(n>=0)个节点的有限集

1. 若 n = 0, 则称为空树
2. 若 n > 0:

• 有且仅有一个特定的根(Root)的结点
• 其余结点可分为m (m>=0)个互不相交的有限集T₁, T₂, T₃ … T_m

那什么又是森林呢? 很简单, 森林是 m (m>= 0) 棵互不相交的树的集合

树的存储结构

双亲表示法 (找双亲容易, 找孩子难)

每个结点有两个域, 数据域和双亲域
数据域 (data) : 存放结点自身的信息
双亲域 (parent): 该结点的父结点的下标
如:

该结点在数组中的下标	data	parent
0	R	-1
1	A	0
2	B	0
3	C	0
4	D	1
5	E	1
6	F	3
7	G	6
8	H	6
9	I	6

所以这棵树的形状为:

结点结构体:

typedef struct PTNode {
	TeleType data; // 数据域
	int parent; // 双亲位置域
} PTNode;

树结构:

#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct{
	PTNode [nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 结点数组
	int root;
	int n; // 结点个数
} PTree;

孩子表示法

将每个结点的孩子用单链表存储起来, 然后每个结点由组成一个线性表, 用结构体数组表示

所以这棵树的形状为:

// 孩子结构体
typedef struct CTNode {
    int child; // 记录孩子的数组下标
    CTNode* next; // 指向下一个孩子
}  *ChildPtr;

// 双亲结构体
typedef struct CTBox {
  	ElemType data; 
    ChildPtr firstchild; // 孩子链表的头指针
} CTBox;

// 树结构
typedef struct CTree {
  	CTBox nodes[MAX_SIZE]; // 结点结构体数组
    int root;
    int n;
} CTree;

孩子兄弟表示法

又名二叉树表示法, 二叉链表表示法
用二叉链表作为树的结构, 链表中的每个结点有两个指针域,分别指向第一个孩子结点, 下一个兄弟结点

typedef struct CSNode {
    ElemType data;
    CSNode* firstchild; // 第一个孩子
    CSNode* nextsibling; // 下一个兄弟结点
} CSNode, *CSTree;

---

树与二叉树的相互转化

树 -> 二叉树

记忆：兄弟相连留长子

为什么要把树转化成二叉树? 因为一般的树相对于二叉树来说比较复杂, 而我们把它转化成二叉树后, 可以利用二叉树的算法来实现对树的操作

给定一棵树, 可以找到唯一与其对应的二叉树

1. 加线: 在相邻兄弟之间加一条线
2. 去线: 对每个节点, 除了其左孩子外, 去除它与其他孩子之间的线(关系)

如上面的孩子兄弟表示法, 本质就是用二叉链表表示一般的树:

二叉树 -> 树

记忆：左孩右右连双亲，去掉原来右孩线

是树变二叉树的逆过程

1. 加线: 若p结点是父结点f的左孩子, 则将p结点的右孩子、右孩子的右孩子…沿分支找到的所有右孩子, 都与f用线连接起来
2. 去线: 去掉原二叉树中所有结点与右孩子的连线
3. 调整：将结点按层次排列，使其结构清楚，形成树结构

---

森林与二叉树的相互转化

森林 -> 二叉树

记忆：树变二叉根相连

1. 将各棵树分别转化成二叉树
2. 第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一颗二叉树的根结点作为前一颗二叉树根结点的右孩子，用线连接起来
3. 以第一颗树的根结点为二叉树的根，适当进行结构调整

如：

二叉树 -> 森林

记忆：去掉根的右孩孩，孤立二叉再还原

1. 加线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间的连线全部去掉，使之变成一个个孤立的二叉树
2. 还原：将孤立的二叉树还原成树

如：

---

全部口诀：

树变二叉树：兄弟相连留长子

二叉树变树：左孩右右连双亲，去掉原来右孩线

森林变二叉树：树变二叉根相连

二叉树变树：去掉根的右孩孩，孤立二叉再还原

---

树与森林的遍历

树的遍历（类似二叉树的遍历）

先根(次序)遍历

若树不空，则先访问根结点，然后依次（一般从左到右）先根遍历各棵子树。

遍历结果：A B C D E

后根(次序)遍历

若树不空，则先依次（一般从左到右）后根遍历各棵子树，然后访问根结点。

遍历结果：B D C E A

层次遍历

若树不空，则从上到下一层一层访问每个结点

遍历结果：A B C E D

---

森林的遍历

将森林看作三部分:

1. 森林中第一棵树的根节点
2. 森林中第一棵树的子树森林
3. 森林中其他树构成的森林

如：

先序遍历

若森林不空，则

1. 访问森林中第一棵树的根结点；
2. 先序遍历森林中第一棵树的子树森林；
3. 先序遍历森林中（除第一棵树之外）其余树构成的森林。

中序遍历

若森林不空，则

1. 中序遍历森林中第一棵树的子树森林；
2. 访问森林中第一棵树的根结点；
3. 中序遍历森林中（除第一棵树之外）其余树构成的森林。

---

这份笔记是我根据B站“青岛大学-王卓”王老师的教学视频写的，王老师讲的很好，感兴趣的话, 读者可以去看看