POJ 3696 神TM数论

鸣谢：
http://blog.youkuaiyun.com/yhrun/article/details/6908470
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6a46cc3f0100tvqg.html

题意：链接君已失效

方法：各种数论

解析：老师找了两道数论题，这是第一道，听说比第二道简单多了，然而我并不会，看题解也是好顿理解，这题太值得做了！不做悔一生！

咳，回归正题，这道题就是一个神奇的数，问你最短需要多少个8组成的数能整除他？所以你有思路么？并没有！有思路你也不会来看我唠叨了！所以接下来，请你清理下脑子，来看我论证。

首先呢我们可以这么理解

$8*(10^x-1)/9=k*L$其中k为常数

然后呢因为这个9在分母上，如果涉及取余或者什么东西的话会很麻烦，所以我们把它乘到右边，然后会变成什么呢？

$8*(10^x-1)=9*k*L$（我知道以上都是废话）

再进一步$8*(10^x-1)/gcd(8,L)=9*k*L/gcd(8,L)$

接下来便于计算

我们令$p=8/gcd(8,L),q=9*L/gcd(8,L)$

所以原式变为$(10^x-1)*p=k*q$

因为p与q是互质的，这就是为什么我除了个最大公约数。

所以$(10^x-1)%q==0$

即$10^x≡1(mod q)$

又根据欧拉定理

$gcd(a,b)==1$可得到$a^{φ(b)}≡1(mod b)$

所以$10^{φ(q)}≡1(mod q)$

之后呢又有这么个结论，最小的解为$φ(q)$的因子，这个呢是原根的某个定理的推论，简单说明一下原因呢是这样的

设k不是φ(n)的约数

$10^k≡1 (mod n)$

假设gcd(k,φ(n))=s，必然有一个数a，a是k的倍数，a+s是φ(n)的倍数。

$10^a≡10^k≡1 (mod n)$

$10^{(a+s)}≡10^{φ(n)}≡1 ( mod n)$

$所以10^s≡1 (mod n)$

而k不是φ(n)的约数，s是φ(n)的约数，s又是k的约数

所以s＜k。而若k是符合要求的，则必然有一个更小的s。

所以答案一定是φ(n)的约数。

之后就乱搞吧！

友情提示！

欧拉可能算爆long long

所以最好把9单独讨论！

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100100
using namespace std;
typedef long long ll;
ll prime[N];
ll ans[2*N];
int hash[N];
int tot;
ll q;
void quick_pri()
{
    for(int i=2;i<=100000;i++)
    {
        if(!hash[i])prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=100000;j++)
        {
            hash[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
ll mul(ll a,ll b)
{
    ll ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=(ret+a)%q;
        a=(a+a)%q,b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll quick_my(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=mul(ret,a);
        a=mul(a,a),b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    while(b)
    {
        ll t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}
ll phi(ll a)
{
    ll ans=a;
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=a;i++)
    {
        if(a%prime[i]==0)ans=(ans/prime[i])*(prime[i]-1);
        while(a%prime[i]==0)a/=prime[i];
    }
    if(a!=1)ans=ans*(a-1)/a;
    return ans;
}
int main()
{
    quick_pri();
    ll n;
    int casecnt=0;
    while(scanf("%lld",&n)&&n!=0)
    {
        tot=0;
        printf("Case %d: ",++casecnt);
        q=n/gcd(8,n);
        if(gcd(10,9*q)!=1){printf("0\n");continue;}
        else
        {
            ll tmp=phi(q);
            if(q%3!=0)tmp*=6;
            else tmp*=9;
            q*=9;
            for(ll i=1;i*i<=tmp;i++)
            {
                if(tmp%i==0)ans[++tot]=i,ans[++tot]=tmp/i;
            }
            sort(ans+1,ans+1+tot);
            int flag=0;
            for(int i=1;i<=tot;i++)
            {
                if(quick_my(10,ans[i])==1){printf("%lld\n",ans[i]);flag=1;break;}
            }
            if(!flag)printf("0\n");
        }
    }
}