概率论总结——泊松分布与指数分布

最新推荐文章于 2022-10-09 10:12:05 发布

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文章标签：概率论

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本文介绍了泊松分布和指数分布的概念及其在放射性粒子观测中的应用。泊松分布常用于描述单位时间内的独立事件发生次数，而指数分布则描述了事件发生的时间间隔。通过卢瑟福和盖格的实验，证明了在一定条件下，二项分布可以近似为泊松分布。此外，指数分布具有无后效性，意味着事件发生的时间不影响后续事件发生的概率。文章还讨论了这两种分布的期望和方差，并给出了实际例子来进一步解释它们的特性。

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概率论总结——泊松分布与指数分布

泊松分布 $P(\lambda)$

定义

如果随机分布 $X$ 有如下的概率分布：
$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,\cdots$
则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，简记为 $X\sim P(\lambda)$ ， $\lambda$ 为正常数。

实际例子

1910年，著名科学家卢瑟福和盖格观察了放射性物质钋放射 $\alpha$ 粒子的情况，他们进行了 $N = 2608$ 次观测，每次观测7.5秒，一共观测到10094个 $\alpha$ 粒子放出。观测记录表明，**每7.5秒中放射出 $\alpha$ 粒子的个数 $X$ 近似服从泊松分布 $P (3.87)$ **，3.87是7.5秒中放射出粒子的平均数。

可证明： $X\sim P(\lambda)$ .设想将 $t = 7.5$ 秒等分成 $n$ 段，每段是 $\delta_n=t/n$ 秒，对充分大的 $n$ 假定：

（1）在 $\delta_n$ 内最多只有一个 $\alpha$ 粒子放出，并且放出一个粒子的概率 $p_n=\mu\delta_n=\mu t/n$ ， $\mu$ 是正常数；

（2）各小时间段内是否放射出 $\alpha$ 粒子相互独立.

在以上假定下，放射出的粒子数 $X$ 服从 $B(n,p_n)$ ，于是：
$\begin{aligned}P(X=k) & =\lim_{n\rightarrow\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\mu t}{n})^k(1-\frac{\mu t}{n})^{n-k}\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\mu t)^k}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}(1-\frac{\mu t}{n})^{n-k}\\&=\frac{(\mu t)^k}{k!}e^{-\mu t}\end{aligned}$
取 $\lambda=\mu t$ ，得 $X\sim P(\lambda)$ .

该例子实际验证了二项分布向泊松分布趋近的事实；如果 $n$ 很大， $p$ 很小，就可以用泊松分布来描述二项分布 $B (n, p)$ 。

泊松分布可以描述许多有类似背景的随机现象，例如某段高速公路上一年内的交通事故数，某市场一天中到达的顾客次数（排队论），某办公室一天中收到的电话数，某大学一天中上课迟到的总人数等等。

期望与方差

如果随机变量 $X\sim P(\lambda)$ ，则其期望与方差分别为：
$E(X)=\lambda\\ Var(X)=\lambda$

指数分布 $E(\lambda)$

定义

对正常数 $\lambda$ ，如果随机变量 $X$ 的概率密度是
$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$
就称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X\sim E(\lambda)$ 。

无后效性

定理：设 $X$ 是连续型非负随机变量，则 $X$ 服从指数分布的充要条件是对任何 $s,t\geq0$ ，有
$P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)$
上性质称为无后效性，无后效性是指数分布的特征。

如果 $X$ 表示某仪器的工作寿命，无后效性的解释是：当仪器工作了 $s$ 小时后再继续工作 $t$ 小时的概率等于该仪器刚开始就能工作 $t$ 小时的概率，说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化，即仪器是“永葆青春”的。

一般来说，电子元件和计算机软件等具备这种性质，青花盘的使用寿命也具有无后效性。

定理的证明：略

实际例子

用 $X_1$ 表示 $\alpha$ 粒子实验中从开始到观测到第一个 $\alpha$ 粒子的等待时间，可以证明 $X_1$ 服从指数分布。

用 $N (t)$ 表示时间段 $(0, t]$ 内观测到的 $\alpha$ 粒子数，按照之前推导， $N(t)\sim P(\mu t)$ ，其中 $\mu$ 是正常数。于是
$P(X_1>t)=P(N(t)=0)=e^{-\mu t}$
所以，对任何 $0\leq a<b$ ，有
$P(a<X_1\leq b)=P(X_1>a)-P(X_1>b)=e^{-\mu a}-e^{-\mu b}=\int_a^b \mu e^{-\mu x}dx$
因此 $f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$ 是 $X_1$ 的概率密度。