概率论总结——泊松分布与指数分布

概率论总结——泊松分布与指数分布

泊松分布 $P(\lambda )$

定义

如果随机分布 $X$ 有如下的概率分布：
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,\cdots$$
则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，简记为 $X\sim P(\lambda )$ ，$\lambda$ 为正常数。

实际例子

1910年，著名科学家卢瑟福和盖格观察了放射性物质钋放射 $\alpha$ 粒子的情况，他们进行了 $N=2608$ 次观测， 每次观测7.5秒，一共观测到10094个 $\alpha$ 粒子放出。观测记录表明，**每7.5秒中放射出 $\alpha$ 粒子的个数 $X$ 近似服从泊松分布 $P(3.87)$ **，3.87是7.5秒中放射出粒子的平均数。

可证明：$X\sim P(\lambda )$ .设想将 $t=7.5$ 秒等分成 $n$ 段，每段是 ${\delta }_n=t/n$ 秒，对充分大的 $n$ 假定：

（1）在 ${\delta }_n$ 内最多只有一个 $\alpha$ 粒子放出，并且放出一个粒子的概率 $p_n=\mu {\delta }_n=\mu t/n$ ，$\mu$ 是正常数；

（2）各小时间段内是否放射出 $\alpha$ 粒子相互独立.

在以上假定下，放射出的粒子数 $X$ 服从 $B(n,p_n)$ ，于是：
$$\begin{array}{rl}P(X=k)& =\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k(1-p_n{)}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\mu t}{n}{)}^k(1-\frac{\mu t}{n}{)}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(\mu t{)}^k}{k!}\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}(1-\frac{\mu t}{n}{)}^{n-k}\\ & =\frac{(\mu t{)}^k}{k!}{e}^{-\mu t}\end{array}$$
取 $\lambda =\mu t$ ，得 $X\sim P(\lambda )$ .

该例子实际验证了二项分布向泊松分布趋近的事实；如果 $n$ 很大， $p$ 很小，就可以用泊松分布来描述二项分布 $B(n,p)$ 。

泊松分布可以描述许多有类似背景的随机现象，例如某段高速公路上一年内的交通事故数，某市场一天中到达的顾客次数（排队论），某办公室一天中收到的电话数，某大学一天中上课迟到的总人数等等。

期望与方差

如果随机变量 $X\sim P(\lambda )$ ，则其期望与方差分别为：
$$\begin{gathered} E(X)=\lambda \\ Var(X)=\lambda \end{gathered}$$

指数分布 $E(\lambda )$

定义

对正常数 $\lambda$ ，如果随机变量 $X$ 的概率密度是
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$$
就称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X\sim E(\lambda )$ 。

无后效性

定理：设 $X$ 是连续型非负随机变量，则 $X$ 服从指数分布的充要条件是对任何 $s,t\ge 0$，有
$$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$$
上性质称为无后效性，无后效性是指数分布的特征。

如果 $X$ 表示某仪器的工作寿命，无后效性的解释是：当仪器工作了 $s$ 小时后再继续工作 $t$ 小时的概率等于该仪器刚开始就能工作 $t$ 小时的概率，说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化，即仪器是“永葆青春”的。

一般来说，电子元件和计算机软件等具备这种性质，青花盘的使用寿命也具有无后效性。

定理的证明：略

实际例子

用 $X_1$ 表示 $\alpha$ 粒子实验中从开始到观测到第一个 $\alpha$ 粒子的等待时间，可以证明 $X_1$ 服从指数分布。

用 $N(t)$ 表示时间段 $(0,t]$ 内观测到的 $\alpha$ 粒子数，按照之前推导，$N(t)\sim P(\mu t)$ ，其中 $\mu$ 是正常数。于是
$$P(X_1>t)=P(N(t)=0)=e^{-\mu t}$$
所以，对任何 $0\le a<b$ ，有
$$P(a<X_1\le b)=P(X_1>a)-P(X_1>b)=e^{-\mu a}-e^{-\mu b}={\int }_a^b\mu e^{-\mu x}dx$$
因此 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$ 是 $X_1$ 的概率密度。

可以想象，如果 $X_2$ 是从观测到第一个 $\alpha$ 粒子开始到观测到第二个 $\alpha$ 粒子的间隔时间，$X_2$ 也应当服从指数分布。

期望与方差

如果随机变量 $X\sim E(\lambda )$ ，则其期望与方差分别为：
$$\begin{gathered} E(X)=1/\lambda \\ Var(X)=1/{\lambda }^2 \end{gathered}$$