NYOJ 301 递推求值【矩阵快速幂】

最新推荐文章于 2019-03-28 09:28:29 发布

非常可乐（이녕）

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分类专栏：快速幂文章标签：矩阵快速幂

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本文介绍了一种通过矩阵快速幂解决特定递推公式的高效算法。该算法适用于求解形如f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c的大规模递推问题，特别当n的值非常大时。文章提供了完整的C++代码实现，并通过实例演示了如何使用该算法来求解递推序列中第n项的值，同时考虑了数值溢出问题，采用取模操作确保结果的有效性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

递推求值

时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB

难度：4

描述

给你一个递推公式：

f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c

并给你f(1),f(2)的值，请求出f(n)的值，由于f(n)的值可能过大，求出f(n)对1000007取模后的值。

注意:-1对3取模后等于2

输入

第一行是一个整数T,表示测试数据的组数(T<=10000)
随后每行有六个整数，分别表示f(1),f(2),a,b,c,n的值。
其中0<=f(1),f(2)<100,-100<=a,b,c<=100,1<=n<=100000000 (10^9)

输出

输出f(n)对1000007取模后的值

样例输入

2
1 1 1 1 0 5
1 1 -1 -10 -100 3

样例输出

5
999896

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 3
#define LL long long
#define MOD 1000007
struct Mat
{
    LL mat[N][N];
};
Mat mul(Mat a,Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    for(int i=0;i<3;++i)
    {
        for(int k=0;k<3;++k)
        {
            for(int j=0;j<3;++j)
            {
                c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                c.mat[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    return c;
}
Mat pow_mul(Mat a,LL k)
{
    Mat c;
    for(int i=0;i<3;++i)
    {
        for(int j=0;j<3;++j)
            c.mat[i][j]=(i==j?1:0);
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            c=mul(c,a);
        a=mul(a,a);
        k=k>>1;
    }
    return c;
}
int main()
{
    LL n,f1,f2,a,b,c;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&f1,&f2,&a,&b,&c,&n);
        if(n==0)
            printf("%lld\n",((f2-b*f1-c)/a+MOD)%MOD);
        else if(n==1)
            printf("%lld\n",(f1+MOD)%MOD);
        else if(n==2)
            printf("%lld\n",(f2+MOD)%MOD);
        else
        {
            Mat nn,mm;
            memset(nn.mat,0,sizeof(nn.mat));
            memset(mm.mat,0,sizeof(mm.mat));
            nn.mat[0][0]=f2;
            nn.mat[1][0]=f1;
            nn.mat[2][0]=1;
            mm.mat[0][0]=b;
            mm.mat[0][1]=a;
            mm.mat[0][2]=c;
            mm.mat[1][0]=mm.mat[2][2]=1;
            Mat p=pow_mul(mm,n-2);
            p=mul(p,nn);
            LL ans=(p.mat[0][0]+MOD)%MOD;
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}