约瑟夫（Josephus）问题

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分类专栏： C/C++ 算法练习文章标签： Josephus问题

于 2016-07-19 23:00:38 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wyg1065395142/article/details/51960307

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约瑟夫问题描述了一群孩子围圈游戏，每隔m个孩子就淘汰一个，最后剩下的人获胜。通过数学模型分析，提出递推公式f[i]=(f[i-1]+m) mod i，实现O(N)时间复杂度的解决方案，找出最后胜者的编号。通过程序实现，避免大规模数值时的时间消耗。参考多个博客资源深入理解问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一群小孩围成一圈，任意假定一个数n,从第一个小孩起，顺时针方向数，每数到第m个小孩时，该小孩便离开。小孩不断离开，圈子不断缩小。最后剩下的一个小孩便是胜者。求胜者的编号？

/************************************     
// 函数名称: josephus          
// 作 成 者：Erick.Wang     
// 作成日期：2016/07/19     
// 返 回 值: void     
// 参    数: m,n  
// 函数说明：用于解决约瑟夫问题
	1.对于1……N的数据，声明一个2N的数组；
	2.定义两个指针cur和tail，分别用于标记当前访问的数据和最后一个数据；
	3.每访问过一个都将其放置到数组最后位置，当cur的访问次数是M的倍数时，
	  将该位置的数据标记为剔除状态；
	4.当tail指针满的时候将剩余数字前移，继续第3步操作。
//************************************/

#define M 2
#define N 8
int a[N*2 + 1];

void josephus(int m,int n)
{
	int step = 0;
	int count = 0;
	int cur = 1;
	int tail = n;

	for (int i=1; i<=n; i++){
		a[i] = i;
	}
	while (1){
		for (int i=1; i<=n+n; i++){
			printf("%d ",a[i]);
		}
		printf("\n");

		if (step == m){
			printf("delete %d\n",a[cur]);
			a[cur] = -1;
			cur ++;
			count ++;
			step = 0;
		}
		if (count == n-1){
			printf("The last one=%d\n",a[cur]);
			break;
		}
		a[tail + 1] = a[cur];
		//a[cur] = 0;
		cur ++;
		tail ++;
		step ++;

		if (tail == n*2+1){ //执行移动
			int j=1;
			for (int i=cur-1; i<tail; i++){
				a[j ++] = a[i];
			}
			cur = 1;
			tail = j;
		}
	}

	return;
}

以上方法虽然能解决问题，但是当n和m在成百上千的时候时间消耗也是很大的，所以对此问题先用数学模型进行分析，然后再求解，以下有个更快速的方法，时间复杂度为O(N)。
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i>1）
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int m = 3;
int main()
{
    int n, f = 0;
    cin >> n;
	if(n<=0) {
		cout << 0 << endl;
		return 0;
	}
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
		f = (f + m) % i;
    cout << f + 1 << endl;
 	return 0;
}

参考的资料：
http://blog.youkuaiyun.com/firetoucher/article/details/632838
http://www.cnblogs.com/heqinghui/archive/2012/10/04/2711709.html
http://baike.baidu.com/link?url=vwVPN8BkKiW3aJ7UDI31OuAY6bA0YmxVP5tFKs9j_iUMKxjloEi_Jh4s9Rcl3ubkst99ZAuJkgX6xMMyNm7o8a
很精彩：
http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/21/2024377.html