质数筛法

本文介绍了质数的定义,并通过试除法解释了如何判断一个数是否为质数。接着,详细讲解了Eratosthenes筛法和线性筛法,这两种常见的质数筛选算法。Eratosthenes筛法的时间复杂度接近线性,而线性筛法则通过累计质因子实现更高效的质数计算。

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  说到质数的筛法,那就要先了解一下什么是质数。

质数的定义:

若一个正整数无法被除1和它自身以外任何自然数整除,那么它为质数,否则称之为合数。

 根据这个定义,那么如何判定一个数是否为质数呢?我们可以枚举2~√n的数,使用“试除法”,判定其能否整除n,如果可以,说明n为合数,否则为质数,下面给出判定质数的代码:

bool isprime(int x){
	if(x<2) return false;
	if(x==2) return true;
	for(int i=2;i<=sqrt(x)+1;i++)
		if(x%i==0) return false;
	return true;
}

那么读者可能会疑惑,为什么枚举到√n就可以了呢?请看下述证明:若n是合数,那么n能表示为a*b,不妨设b>=a,那么b>=√n,a<=√n,b=n/a,所以只用从2~√n枚举a即可。

质数的筛法:

筛法1:Eratosthenes筛法

该筛法主要基于:若k是质数,则k的正整数倍都不是质数,可以用一个bool数组储存是否被扫过,如果没有扫过,则其是质数,然后标记其整数倍的数,不难写出如下代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool num[100000005];
int ans=0;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!num[i]){
            ans++;
            for(int j=i;j<=n;j+=i) num[j]=true;
   
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