给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段，每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多

最新推荐文章于 2022-06-20 15:12:04 发布

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文章标签：算法

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本文探讨了一道经典算法问题：如何将一根绳子剪成若干段，使得这些段的乘积最大。通过数学分析和编程实现，揭示了最优解背后的逻辑，并提供了一个简洁的Java代码解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前情提要

解决该问题之前先了解一个简单数学问题：已知周长一定为l的一条绳子，将绳子分割为长度为m,n的两节.问这时候长m与宽n在什么情况下，达到面积s最大

解题过程如下：

因为s = m*n;
又因为l = m+n;则n = l/2-m;
故：s(m) = m(l/2-m)。即s(m) = -m^2 + ml/2;
对上式进行求导：s(m)' = -2m  + l/2
另 s' = 0;  -2m  + l/2 =0  => m = l/4。
(0,l/4)区间，s'>0,S单调递增
(l/4, n)区间，s'<0,S单调递减
l/4为极大值点
所以在长度x=n/4的时候，S的面积最大
所以n = l/2-m = l/2 - l/4 =  l/4;
故当剪得长度，宽度一致的情况下面积最大。

回归本算法题目：

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

解题过程：类比上述案例截图过程。则有
1.分析题意:
绳子长度为n，分成m分，那先设分后每份长度为x, 份数m=n/x
那么结果就是 n/x个 x 相乘 f(x)=(n/x)(n/x)…*(n/x) = x^(n/x).

因为maxMul = f(x) = x^(n/x);
两边同时求对数，则有:ln(f(x)) = n/x(lnx);
两边同时求导。则有：

在这里插入图片描述
有上述求导过程可知。当x = 3时候。m = n/x有以下三种情况：

1. f(x) = 3^n/3  n%3 ==0;
2. f(x) = 3^(n/3-1)*4 n%3 ==1;
3. f(x) = 3^(n/3)*2;

注意：另外还需考虑绳子的长度小于3的情况。
完整代码如下：

public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if(target == 2){return 1;}
        if(target == 3){return 2;}
        if(target >=4){
            if(target % 3 == 0){
                return (int)Math.pow(3,target/3);
            }else if(target % 3 == 1){
                return 4*(int)Math.pow(3,target/3 -1);
            }else{
                return 2*(int)Math.pow(3,target/3);
            }
        }
        return 0;
    }
}