三角形最小路径和算法-优快云博客

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1.Triangle

1.Triangle

1.1 题目描述

description:Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.
For example, given the following triangle
```
[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
```
The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).
note:Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

1.2 分析和解答

问题描述：这是一个求最小路径和的题目。概念"路径和"，太直观就不定义了。

1.2.1 概要分析

是求最值题：值不是现成的，需要构造。
1. 最值题的最笨解法是构造出所有的值，然后打擂台式遍历一遍得最值。
2. 最值是最大的那个局值，所以最值题有天然的子问题特性(可能不是很明显)
具有子问题特性
1. 数据是一个树形结构，虽然不是用链表形式的二叉树。树形结构的题都具有
  子问题特性，因为树本身的定义就是一个递归定义。递归和子问题特性是神似。
这个题目太简单，就直接写出递归方程吧。
1. 定义1：V(i,j)表示结点（i，j）的值。
2. 定义2：S(i,j)为以（i，j）为根的树的最小路径和。这个定义就是原问题，有时候以原问题直接做定义不太好继续分析，那时候就需要下一个相近的定义，见例子[].
3. 递归公式：
  $S_{(i,j)} = V_{(i,j)} + Min( S_{(i+1, j)}, S_{(i+1, j+1)})$

1.2.1 递归解法

    /**
     * 算法没问题，递归调用，写法简单扼要，但是会超时
     * @param triangle
     * @param level    当前层数，从0开始计数
     * @param column   当前index，索引嘛，当然从0开始计数了
     * @return 返回以结点(level,column)为子树的小路径和.
     */
    private int findMinPathSum(List<List<Integer>> triangle, int level, int column) {

        if (level == triangle.size() - 1) {
            return triangle.get(level).get(column);
        }

        return triangle.get(level).get(column) +
                Math.min(findMinPathSum(triangle, level + 1, column),
                        findMinPathSum(triangle, level + 1, column + 1));

    }

算法分析
1. 优点：代码形式和递归公式高度统一；
2. 缺点：调用超时；调用栈的空间复杂度不能忽略。

1.2.2 自底向上的解法

    /**
     * 备忘录法，其中用输入数据做了'数据空间'，即空间复杂度为O(1)，要比要求的O(n)要厉害的多
     * 相关题目：
     * Partition to K Equal Sum Subsets
     * Image Overlap
     * Odd Even Jump
     * @param triangle
     * @return 最小路径和
     */
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {

        if (triangle.size() == 0) {
            return 0;
        }
        if (triangle.get(0).size() == 0) {
            return 0;
        }
        //从最后一行开始
        for (int i = triangle.size() - 1; i >= 0; i--) {

            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {

                Integer value = triangle.get(i).get(j);
                if (i == triangle.size() - 1) {
                    continue;
                } else {
                    int minPath = Math.min(triangle.get(i + 1).get(j), triangle.get(i + 1).get(j + 1));
                    triangle.get(i).set(j, value + minPath);
                }
            }
        }
        return triangle.get(0).get(0);
    }