扩展欧几里得算法andPOJ1061

扩展欧几里得算法解线性同余方程

首先欧几里得算法（辗转相除法）

（求最大公约数）

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

递归

int gcd(int a,int b)
{
        if(b==0) return a;
        return gcd(b,a%b);
}

迭代

int gcd(int a,int b)
{
      while(b!=0)
      {
                int tmp=b;
                b=a%b;
                a=tmp;
       }
return a;
}

2.扩展欧几里得算法

a*x+b*y=c

d=gcd(a,b)

若c%d!=0则不定方程无解

解方程a*x+b*y=gcd(a,b)

特解

当b=0时，gcd(a,b)=a

所以a*x+b*y=a

所以x=1,y=0

然后推回去得多解

x = y0 , y = x0 - (a/b) * y0

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int re = exgcd(b, a % b, x, y);
    int temp=x;
    x = y;
    y=temp - a / b * y;
    return re;
}

POJ1061青蛙的约会

链接：POJ1061

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

简单的扩展欧几里得算法的应用

就解方程

t为跳的次数，即要求解的值

k=1,2,3,4.....

列出(x+t*m)-(y+t*n)=kl

then 变成(n-m)*t-l*k=x-y

然后求解就行了

数据都怪大的完了以后就全开了longlong

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll re = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll temp=x;
    x = y;
    y=temp - a / b * y;
    return re;
}

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b==0)return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    ll x,y,m,n,l;
    ll x1,y1;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    ll p = n - m;
    ll q = x - y;
    ll re=exgcd(p, l, x1, y1);
    if(q % re!=0)
    {
        printf("Impossible\n");
        return 0;
    }
    ll tmp=l / re;
    x1=( (q / re * x1) % tmp + tmp) % tmp;
    cout<< x1 <<endl;
    return 0;
}