HDU 4370 巧妙的最短路SPFA

最新推荐文章于 2020-10-24 23:36:28 发布

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Problem Description

Given a n*n matrix C_ij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix X_ij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,X_ij meets the following conditions:

1.X₁₂+X₁₃+...X_1n=1
2.X_1n+X_2n+...X_n-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X₁₂+X₁₃+X₁₄=1
X₁₄+X₂₄+X₃₄=1
X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄
X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄

Now ,we want to know the minimum of ∑C_ij*X_ij(1<=i,j<=n) you can get.

Hint

For sample, X₁₂=X₂₄=1,all other X_ij is 0.

Input

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is C_ij(0<=C_ij<=100000).

Output

For each case, output the minimum of ∑C_ij*X_ij you can get.

Sample Input

Sample Output

2012 Multi-University Training Contest 8 Solution2012年08月16日 17:10:49

1001 (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
const int N = 500;
const int INF = 99999999;
using namespace std;
int mp[N][N];
int dis[N];
int vis[N];
int q[N];

void spfa(int st,int n)
{
    int top=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i==st)
        {
            q[top++]=i;
            vis[i]=1;
            dis[i]=INF;//求至少有一个其他点的自环，初始化为无穷大
        }
        else
        {
            vis[i]=0;
            dis[i]=mp[st][i];
            if(dis[i]!=INF)
            {
                vis[i]=1;
                q[top++]=i;
            }
        }
    }

    while(top)
    {
        int u=q[--top];
        vis[u]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(dis[i]>dis[u]+mp[u][i])
            {
                dis[i]=dis[u]+mp[u][i];
                if(vis[i]==0)
                {
                    vis[i]=1;
                    q[top++]=i;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=n;j++)
            {
                if(i==j) mp[i][j]=0;
                else mp[i][j]=INF;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&mp[i][j]);

        spfa(1,n);
        int ans=dis[n];
        int num1=dis[1];
        spfa(n,n);
        int num2=dis[n];
        printf("%d\n",min(ans,num1+num2));

    }

    return 0;
}