【算法导论】快速排序

既然敢叫“快速排序”，必然有其过人之处。事实上，它确实是最快的通用内部排序算法。它由Hoare于1962年提出，相对归并排序来说不仅速度快，并且不需要辅助空间。

对于包含n个数的输入数组来说，快速排序是一种最坏情况时间复杂度为O(n^2)的排序算法。虽然最坏情况时间复杂度差，但是快速排序通常是实际排序应用中最好的选择，因为它的平均性能非常好：它的期望时间复杂度O(nlgn)，而且其中隐含的常数因子非常小。另外，它还能够原址排序，甚至在虚存环境中也能很好的工作。

1. 快速排序的描述

快速排序使用了分治思想，下面是对一个典型的子数组A[p..r]进行快速排序的三步分治过程：

分解：数组A[p..r]被划分为两个（可能为空）子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[p..q-1]中的每一个元素都小于等于A[q]，而A[q]也小于等于A[q+1..r]中的每一个元素。其中，计算下标q也是划分过程的一部分。

解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]进行排序。

合并：因为子数组都是原址排序的，所以不需要合并操作：数据A[p..r]已经有序。

下面的程序实现快速排序：

QUICKSORT(A, p, r)
1. if p < r
2.     q = PARTITION(A, p, r)
3.     QUICKSORT(A, p, q-1)
4.     QUICKSORT(A, q+1, r)

为了排序一个数组A的全部元素，初始调用为QUICKSORT(A, 1, A.length)。

数组的划分：

算法的关键部分是PARTITION过程，它实现了对子数组A[p..r]的原址重排。

PARTITION方案一

PARTITION(A, p, r)
1. x = A[r]
2. i = p - 1
3. for j = p to r-1
4.     if A[j] <= x
5.         i = i+1
6.         exchange A[i] with A[j]
7. exchange A[i+1] with A[r]
8. return i+1

PARTITION方案二

HOARE-PARTITION(A, p, r)
 1. x = A[p]
 2. i = p-1
 3. j = r+1
 4. while TRUE
 5.     repeat
 6.         j = j-1
 7.     until A[j] <= x
 8.     repeat
 9.         i = i+1
10.     until A[j] >= x
11.     if i < j
12.         exchange A[i] with A[j]
13.     else return j

2. 快速排序的随机化版本
快速排序的随机化版本只对PARTITION和QUICKSORT的代码改动非常少。在新的划分程序中，我们只是在真正进行划分前进行一次交换：

RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
1. i = RANDOM(p, r)
2. exchange A[r] with A[i]
3. return PARTITION(A, p, r)

一种改进的RANDOMIZED-QUICKSORT的方法是在划分时，要从子数组中更细致地选择作为主元的元素（而不是简单的随机选择），常用的做法是三数取中法：从子数组中随机选出三个元素，取其中位数作为主元（算法从略）。

新的快速排序不再调用PARTITION，而是调用RANDOMIZED-PARTITION：

RANDOMIZED-QUICKSORT(A, p, r)
1. if p < r
2.     q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
3.     RANDOMIZED-QUICKSORT(A, p, q-1)
4.     RANDOMIZED-QUICKSORT(A, q+1, r)

3. 选择问题

选择第k大的数，问题描述：

输入：一个包含n个（互异的）数的集合A和一个整数i， 1 <= i <= n。

输出：元素x属于A，且A中恰好有i-1个其他元素小于它。

4. 期望为线性时间的选择算法

一般选择问题看起来要比找最小值这样的简单问题更难，但令人惊奇的是，这两个问题的渐近运行时间却是相同的：O(n)。与快速排序一样，我们仍然对数组进行递归划分。但不同的是，快速排序会递归处理划分的两边，而RANDOMIZED-SELECT只处理划分的一边。

RANDOMIZED-SELECT利用了RANDOMIZED-PARTITION过程。与RANDOMIZED-QUICKSORT一样，因为它的部分行为是由随机数生成器的输出决定的，所以RANDOMIZE-SELECT也是一个随机算法。以下是RANDOMIZED-SELECT的伪代码，它返回数组A[p..r]中第i小的元素。

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
1. if p == r
2.     return A[p]
3. q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
4. k = q-p+1
5. if i == k
6.     return A[q]
7. else if i < k
8.     return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q-1, i)
9. else return RANDOMIZED-SELECT(A, q+1, r, i-k)

5. 最坏情况为线性时间的选择算法

通过执行以下步骤，算法SELECT可以确定一个有n>1个不同元素的输入数组中第i小的元素。（如果n=1，则SELECT只返回它的唯一输入数值作为第i小的元素。）

(1). 将输入数组的n个元素划分为n/5组，每组5个元素，且至多只有一组由剩下的n mod 5个元素组成；

(2). 寻找这n/5组中每一组的中位数：首先对每组元素进行插入排序，然后确定每组有序元素的中位数；

(3). 对第2步中找出的n/5个中位数，递用SELECT以找出其中位数x（如果有偶数个中位数，为了方便，约定x为较小的中位数）； 

(4). 利用修改过的PARTITION版本，按中位数的中位数x对输入数组进行划分。让k比划分的低区中的元素数目多1，因此x是第k小的元素，并且有n-k个元素在划分的高区；

(5). 如果i=k，则返回x。如果i<k，则在低区递归调用SELECT来找出第i小的元素。如果i>k，则在高区递归查找第i-k小的元素。