NOWCODER – 小A的数学题(数论)

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/549/J
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j{)}^2$$
我第一次化简的时候把d从gcd里提出来了写的贼麻烦。
这个数论太简单了，我太蠢了，主要是存个容斥板子。
这里有个小结论，可以再优化下时间，还不是很能证明出来。
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=1]=2\cdot \sum _{i=1}^n\varphi (i)–1$$
既然把欧拉函数筛出来了，那还有个小方法能优化时间，sieve是筛出来的质数，直接用这些质数质因数分解时间复杂度(O(logn))。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod = 1000000007, mod2 = 998244353, inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll quickpow(ll x, ll k)
{
    ll res = 1;
    while(k){
        if(k & 1) res = (res * x) % mod;
        k >>= 1, x = (x * x) % mod;
    }
    return res;
}

const int maxn = 1e6 + 5;

int prime[8], p;
void dis(int x)
{
    p = 0;
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i){
        if (x % i == 0){
            //所有质因子装入prime
            prime[p++] = i;
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    //最后出来的是个质数
    if (x != 1) prime[p++] = x;
}
ll cal(int n, int m)
{
    ll sum = m;
    for (int i = 2; i <= n; ++i){
        //把每个数质因数分解一下，1直接就是m了
        dis(i);
        //二进制状压容斥求gcd为1的对数，至少要枚举一个
        for (int j = 1; j < (1 << p); ++j){
            int tj = j, cnt = 0, tp = 0, mul = 1;
            while (tj){
                if (tj & 1) ++cnt, mul *= prime[tp];
                tj >>= 1, ++tp;
            }
            if (cnt & 1) sum += (m - m / mul);
            else sum -= (m - m / mul);
        }
    }
    return sum;
}
ll f[maxn];
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    if (n > m) swap(n, m);
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        ans += 1LL * i * i % mod * (cal(n / i, m / i) % mod) % mod;
        ans %= mod;
    }
    printf("%d\n", (ans + mod) % mod);
    return 0;
}

后来发现d根本不用提出来啊，直接枚举gcd倒着容斥就好了。

for (int i = n; i >= 1; --i){
    f[i] = 1LL * (n / i) * (m / i);
    for (int j = i << 1; j <= n; j += i) f[i] -= f[j];
    ans += 1LL * i * i % mod * (f[i] % mod) % mod;
    ans %= mod;
}