子数组求和

子数组元素求和

一个面试题，哎

题目一：连续子数组求和

/**
     * 题目：连续子数组求和
     * 给定一个整数数组，请找出所有的连续子数组，计算所有的子数组的和，输出子数组和相加的结果。
     *
     * 例如：
     * 数组 [1, 3, 7]有7个子数组：
     * [] [1] [3] [7] [1,3] [3,7] [1,3,7]
     * 子数组相加后的结果是36
     * [ ] + [1] + [3] + [7] + [1, 3] + [3, 7] + [1, 3, 7] = 0 + 1 + 3 + 7 + 4 + 10 + 11 = 36
     *
     * 算法实现在sumArray函数，要求算法复杂度至少O(N*N*N), 最好O(N)。
 */

算法1

最坏的算法，把所有的字数组求出来，然后加和，求所有子数组时间复杂度度，O(N*N), 字数组求和O(N*N*N)

算法2

考虑每个元素在多少个字数组中出现。数组中的第i个元素，可以出现在所有长度的字数组中，判断在每个长度子数组中出现的次数。算法array_sum1.
时间复杂度O(N*N)

算法3

每个元素一定出现在一个子数组中，并且会把这个数组分为两节，前半截的可能性*后半截的可能性，就是包含此元素的所有的可能的子数组个数。就是算法3。前半截必须连续和当前元素连起来。算法array_sum2
时间复杂度O(N)

一开始见到这一题，没看到明晃晃的”连续”两个字，太傲慢轻心了，直接思路就跑着向非连续想去了。我们开始拓展一下一下题：

题目二：子数组求和

/**
     * 题目：子数组求和
     * 给定一个整数数组，请找出所有的子数组，计算所有的子数组的和，输出子数组和相加的结果。
     *
     * 例如：
     * 数组 [1, 3, 7]有7个子数组：
     * [] [1] [3] [7] [1,3] [3,7] [1,7] [1,3,7]
     * 子数组相加后的结果是36
     * [ ] + [1] + [3] + [7] + [1, 3] + [3, 7] +[1,7]+ [1, 3, 7] = 0 + 1 + 3 + 7 + 4 + 10 + 8 + 11 = 44
     *
     * 算法实现在sumArray函数，要求算法复杂度至少O(N*N*N), 最好O(N)。
     */

思路：

直觉方面，每个元素出现的次数和数据长度相关，原以为每个元素出现次数相等（其实错了），和数组长度有关。

算法1

最坏的算法，把所有的字数组求出来，然后加和，求所有子数组时间复杂度度，O(N*N), 字数组求和O(N*N*N)

算法2

考虑每个元素在多少个字数组中出现。数组中的第i个元素，可以出现在所有长度的字数组中，判断在每个长度子数组中出现的次数。没有实现
时间复杂度O(N*N)

算法3

每个元素一定出现在一个子数组中，并且会把这个数组分为两节，前半截的可能性*后半截的可能性，就是包含此元素的所有的可能的子数组个数。就是算法3。不过前半截可以是不连续的，就是2的阶乘了，算法array_sum3
时间复杂度O(N)

#include <iostream>
using namespace std;

// continue sub array 
// Time complexity:O(N * N)
int array_sum1(int *a, int len) {
    int sum = 0;
    // i element in array
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        // sub array len from 0 to len
        for (int j = 0; j <= len; ++j) {
            // a[i]'s smallest subscript in sub array
            int begin = 0;
            if (len - j < i) {
                begin = i - (len - j);
            }
            // a[i]'s biggest subscript in sub array
            int end = j - 1;
            if (i < j - 1) {
                end = i;
            } 
            sum += a[i] * (end - begin + 1);
        }
    }
    return sum;
}

// continue sub array 
// Time complexity:O(N)
int array_sum2(int *a, int len) {
    int sum = 0;
    // a[i] add time is. sub array include it. 
    // in this sub array,before a[i], len maybe [0, i], continue, mean, sub_array's num is (i + 1), 
    // same to after [0, len - i - 1]
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        sum += a[i] * (i + 1) * (len - i);       
    }
    return sum;
}

// not continue sub array
// Time complexity:O(N) 
int array_sum3(int *a, int len) {
    int sum = 0;
    // a[i] add time is. sub array include it. 
    // in this sub array,before a[i], len maybe [0, i], not continue, mean, sub_array's num is 2**(i)
    // same to after len - i - 1
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        sum += a[i] * 1ul << i * 1ul << (len - i - 1);
        std::cout << (1ul << i * 1ul << (len - i - 1)) << std::endl;
    }
    return sum;
}

int main() {
    int a[] = {1, 3, 7};
    std::cout << array_sum1(a, 3) << std::endl;
    std::cout << array_sum2(a, 3) << std::endl;
    std::cout << array_sum3(a, 3) << std::endl;
    return 0;
}