day6_动态规划1

动态规划

一、动态规划解题套路框架

动态规划问题性质

1.暴力递归

引出 重叠子问题

2.使用“备忘录”

目的：重叠子问题(使用数组或哈希表)

带备忘录的递归解法的效率已经和迭代的动态规划解法一样了。实际上，这种解法和常见的动态规划解法已经差不多了，只不过这种解法是「自顶向下」进行「递归」求解，我们更常见的动态规划代码是「自底向上」进行「递推」求解。

3.自底向上

啥叫「自底向上」？反过来，我们直接从最底下、最简单、问题规模最小、已知结果的 f(1) 和 f(2)（base case）开始往上推，直到推到我们想要的答案 f(20)。这就是「递推」的思路，这也是动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算的原因。

4.状态转移方程

f(n) 的函数参数会不断变化，所以你把参数 n 想做一个状态，这个状态 n 是由状态 n - 1 和状态 n - 2 转移（相加）而来，这就叫状态转移，仅此而已。

状态转移方程直接代表着暴力解法。

千万不要看不起暴力解，动态规划问题最困难的就是写出这个暴力解，即状态转移方程。

只要写出暴力解，优化方法无非是用备忘录或者 DP table，再无奥妙可言。

5.细节优化：

一般是动态规划问题的最后一步优化，如果我们发现每次状态转移只需要 DP table 中的一部分，那么可以尝试缩小 DP table 的大小，只记录必要的数据，从而降低空间复杂度

例题1，零钱兑换

带备忘录的递归解法

class Solution {
   
    int[] memo;

    int coinChange(int[] coins, int amount) {
   
        memo = new int[amount + 1];
        // 备忘录初始化为一个不会被取到的特殊值，代表还未被计算
        Arrays.fill(memo, -666);

        return dp(coins, amount);
    }

    int dp(int[] coins, int amount) {
   
        if (amount == 0) return 0;
        if (amount < 0) return -1;
        // 查备忘录，防止重复计算
        if (memo[amount] != -666)
            return memo[amount];

        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for (int coin : coins) {
   
            // 计算子问题的结果
            int subProblem = dp(coins, amount - coin);
            // 子问题无解则跳过
            if (subProblem == -1) continue;
            // 在子问题中选择最优解，然后加一
            res = Math.min(res, subProblem + 1);
        }