Mandelbrot vs Julia

最新推荐文章于 2019-05-13 22:02:28 发布

原创最新推荐文章于 2019-05-13 22:02:28 发布 · 313 阅读

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#Mandelbrot #Julia #Mandelbrot vs Julia #无限放大的Mandelbrot集

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本文深入探讨了Mandelbrot集和Julia集的生成原理与图像特性，从简单公式出发，揭示了这些集合背后的数学美感与自相似性质。通过代码实现，展示了如何利用迭代过程绘制这些复杂但美丽的几何形状，并对比了两者之间的关系。文章还介绍了如何无限放大Mandelbrot集，以及如何通过鼠标操作动态展示Julia集的变化，为读者提供了一次视觉与数学的双重盛宴。

前言：

     首先先简单介绍一下Mandelbrot集，该集被曼德布罗特教授称之为“魔鬼的聚合物”，也被大家称之为“上帝的指纹”。之所以这么称呼，我想是该集合本身的自相似性及其图像复杂度。然而，如此复杂的图像也只不过是通过一个简单的公式（Z^2 = Z^2 + c）来完成的，当然当年曼德布罗特教授发现这个公式是不容易的。我刚开始接触Mandelbrot集的时候并没有注意到其简单性，只是觉得图像蛮漂亮的，就开始着手了。当时也没有注意到其子集Julia集，最后才发现Julia集与Mandelbrot集是一个公式来的，只是它们的初始条件不同而已。Julia集中，复数c是固定，确切的说是它不随复平面上的坐标变化而变化。而Mandelbrot集中的c是随坐标值改变而改变的。

     MandelBrot vs Julia：

   下面就切入正题了，刚在前言里也说过Julia集是Mandelbrot集的子集，这也就是说如果把Madelbrot集画出来，再画Julia集就简单多了。Mandelbrot集的图像是一个3:2（这个可以研究一下公式）的图，为了使图像好看些可以按这个比例把它放大，比如说把这个它画在一个600x400的框架中，缩放比例也就是1/200。下面主要是初始化Z^2 = Z^2 + c，c = new Complex((double)x * rate - 2.0,(double)y * rate - 1.0);z = c;然后就是进行公式转化了，即Z^2 = Z^2 + c，直达达到迭代次数或者复数z的模长大于2采跳出循环。迭代次数其实就是放大比例，次数越多放大效果越好，看的也越精细，也会体现出它的自相似。之所以要以模长为2为界限，这个就需要自己研究一下公式了。跳出循环时，如果达到迭代次数就是Mandelbrot集里的，不然就不是了。这样我们就可也找出框架里的点那些是Mandelbrot集里的，那些不是了，说到这里Mandelbrot集也就差不多出来了。下面给出一小段关于画Mandelbrot的代码：

for (int x = 0; x < 600; x++) {
	for (int y = 0; y < 400; y++) {
				
		interation = 0;
		c = new Complex((double)x * rate - 2.0,(double)y * rate - 1.0);
		z = c.add(new Complex(0.0,0.0));
		//计算模长
		length = Math.sqrt(z.re * z.re + z.im * z.im);
				
		//判断是否在set内
		while (length <= 2 && interation < maxInteration) {
					
			//Mandelbrot集
			z = z.multiply(z);
			z = z.add(c);
					
			//计算模长
			length = Math.sqrt(z.re * z.re + z.im * z.im);
					
			interation++;
		}
					
		//如果在set内
		if (interation == maxInteration) {
			g.setColor(Color.BLACK);
			g.drawLine(x, y + 5, x, y + 5);
		}else {//如果不在set内
			g.setColor(advocate(interation));
			g.drawLine(x, y + 5, x, y + 5);
		}
				
	}
}

相信画Mandelbrot集已经很简单了，下面开始画Julia集了。

刚才也说过如果已经画出Mandelbrot集，那么Julia集就不用费吹灰之力了。给窗体添加一个鼠标监听器，获取坐标，然后根据坐标就可以得到c了，即c = new Complex((double)x * rate - 2.0,(double)y * rate - 1.0);，然后就是跟画Mandelbrot集相同的步骤了，这里就不多说了，只给出相应的代码了。

public void mouseMoved(MouseEvent e){
        x1 = e.getX();
	y1 = e.getY();
	//System.out.println("x1的值：" + x1 + "y1的值：" + y1);
	c1 = new Complex((double)x1 * rate - 2.0,(double)y1 * rate - 1.04);
	for (int x = 0; x < 600; x++) {
		for (int y = 0; y < heigth; y++) {
						
		        interation = 0;
		        z1 = new Complex((double)x * rate - 1.5,(double)y 
                                                             * rate - 1.05);
			//计算模长
		         length = Math.sqrt(z1.re * z1.re + z1.im * z1.im);
						
			//判断是否在set内
			while (length <= 2 && interation < maxInteration) {
							
				//Mandelbrot集
				z1 = z1.multiply(z1);
				z1 = z1.add(c1);
							
				//计算模长
				length = Math.sqrt(z1.re * z1.re + z1.im 
                                                                      * z1.im);
							
			        interation++;
			}
							
			//如果在set内
			if (interation == maxInteration) {
				g.setColor(Color.BLACK);
				g.drawLine(x + 605, y, x + 605, y);
			}else {//如果不在set内
			         g.setColor(advocate(interation));
	                        g.drawLine(x + 605, y, x + 605, y);
			}
						
	       }
	}
}

下面给张图片：