曼德勃罗集(Mandelbrot Set)

本文介绍了曼德勃罗集的创始人——数学家Benoit B. Mandelbrot,以及Mandelbrot集的美学意义。通过公式和代码展示,解释了如何生成这一著名的分形图案。

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曼德勃罗(Benoit B. Mandelbrot),数学家、经济学家,分形理论的创始人。1924年生于波兰华沙;1936年随全家移居法国巴黎,在那里经历了动荡的二战时期;1948年在帕萨迪纳获得航空硕士学位;1952年在巴黎大学获得数学博士学位;曾经是普林斯顿、日内瓦、巴黎的访问教授,哈佛大学的“数学实践讲座”的教授,IBM公司的研究成员和会员。

简介

Mandelbrot Set 被称为”魔鬼的聚合物“, “上帝的指纹”.
根据公式

Zn+<
### 罗集的定义与特性 罗集是由法国数学家本华·提出的,基于复数平面的一个特殊集合。其核心在于通过特定的迭代公式来判断某些复数是否会趋于无穷大或者保持有限值。具体而言,该集合由满足以下条件的所有复数 \( C \) 构成:当初始值 \( Z_0 = 0 \),并按照公式 \[ Z_{n+1} = (Z_n)^2 + C \] 进行反复迭代时,序列 \( \{Z_n\} \) 的模不会趋向于无穷大[^2]。 #### 数学描述 为了更清晰地表达上述过程,可以引入极限的概念。设 \( |Z| \) 表示复数 \( Z \) 的模,则对于任意给定的复数 \( C \),如果存在某个正实数 \( M \),使得无论经过多少次迭代, \[ |Z_n| \leq M, \quad n = 0, 1, 2, ... \] 则称 \( C \) 属于罗集;反之,若随着迭代次数增加,\( |Z_n| \to \infty \),那么 \( C \) 不属于该集合[^4]。 #### 分形特征 罗集最显著的特点之一就是它的边界具有复杂的分形结构。这种复杂性源于自相似性的体现——即整体形状与其局部细节之间存在着某种比例关系,在不同尺度下展现出类似的图案[^1]。因此,即使放大到极致,仍然可以看到不断变化的新模式涌现出来。 #### 绘制方法概述 要可视化罗集通常采用计算机程序完成。基本思路是对复平面上每一个像素对应的坐标作为参数C代入前述递推公式计算若干步之后检测是否逃逸至无穷远处(一般设定阈值为大于等于2即可认为已经逃离)[^3]。下面给出一段简单Python代码用于生成黑白版本的图像: ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def mandelbrot_set(width, height, xmin=-2.0, xmax=1.0, ymin=-1.5, ymax=1.5, max_iter=80): x = np.linspace(xmin, xmax, width) y = np.linspace(ymin, ymax, height) escape_times = np.zeros((height, width)) for i in range(height): for j in range(width): c = complex(x[j], y[i]) z = 0j for k in range(max_iter): z = z * z + c if abs(z) >= 2: break escape_times[i][j] = k return escape_times data = mandelbrot_set(600, 400) plt.imshow(data.T, extent=[-2, 1, -1.5, 1.5], origin='lower', cmap='hot') plt.colorbar() plt.show() ```
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