BZOJ 3994: [SDOI2015]约数个数和|莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2019-02-17 22:55:56 发布

ws_yzy

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分类专栏：莫比乌斯反演文章标签：莫比乌斯反演

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本文探讨了一种使用数学公式解决复杂计算问题的方法，并通过实例展示了如何将数学原理应用于实际编程场景中，使得计算效率得到了显著提升。

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有一个非常神的东西:

d (n * m) = \sum i | n \sum j | m g c d (i, j) = = 1

$d(n*m)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}gcd(i,j)==1$
并不知道怎么证明……然后有了这个式子后面就很简单了！
然后

A n s = \sum i = 1 n \sum j = 1 m ⌊ n i ⌋ ⌊ m j ⌋ (g c d (i, j) = = 1)

$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor(gcd(i,j)==1)$

= \sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum d | i, d | j u (d) ⌊ n i ⌋ ⌊ m j ⌋

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|i,d|j}u(d)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor$

= \sum d = 1 m i n （ n, m) u (d) \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ m d ⌋ ⌊ n d * i ⌋ ⌊ m d * j ⌋

$=\sum_{d=1}^{min（n,m)}u(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{d*i}\rfloor\lfloor\frac{m}{d*j}\rfloor$

= \sum d = 1 m i n （ n, m) u (d) (\sum i = 1 ⌊ n d ⌋ ⌊ n d * i ⌋ \sum j = 1 ⌊ m d ⌋ ⌊ m d * j ⌋)

$=\sum_{d=1}^{min（n,m)}u(d)\big(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{d*i}\rfloor\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{m}{d*j}\rfloor\big)$

= \sum d = 1 m i n （ n, m) u (d) * f (⌊ n d ⌋) * f (⌊ m d ⌋)

$=\sum_{d=1}^{min（n,m)}u(d)*f(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)*f(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)$
然后可以发现

f(x) $f(x)$ 即为

d(x) $d(x)$ 的前缀和，

d(x) $d(x)$ 可以线性筛出来
（当年参加省选，这个题打表就有20分……我感觉暴力第一个点就会超时然后就弃疗了

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll  long long
#define N 50050
#define mx 1e9
using namespace std;
int sc()
{
    int i=0,f=1; char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')i=i*10+c-'0',c=getchar();
    return i*f;
}
int a[N],prime[N];
int mu[N],d[N],low[N];
void pre()
{
    int top=0;
    mu[1]=low[1]=d[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!a[i])
        {
            low[i]=prime[++top]=i;
            d[i]=2;mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<N;j++)
        {
            a[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                low[i*prime[j]]=low[i]*prime[j];
                if(low[i]==i)
                    d[i*prime[j]]=d[i]+1;
                else
                    d[i*prime[j]]=d[i/low[i]]*d[prime[j]*low[i]];
                break;
            }
            low[i*prime[j]]=prime[j];
            d[i*prime[j]]=d[i]*2;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<N;i++)mu[i]+=mu[i-1],d[i]+=d[i-1];
}   
long long solve(int n,int m)
{
    long long ans=0;
    if(n>m)swap(n,m);
    for(int i=1,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(ll)(mu[last]-mu[i-1])*d[n/i]*d[m/i];
    }
    return ans;
}
int main()
{
    pre();
    int T=sc();
    while(T--)
    {
        int x=sc(),y=sc();
        printf("%lld\n",solve(x,y));
    }
    return 0;
}