§1
阶行列式的定义
下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式。
二阶行列式

其中 ①
是
的全排列, ②
是
的逆序数, ③
是对所有
的全排列求和。
三阶行列式


其中 ①
是
的全排列, ②
是
的逆序数, ③
是对所有
的全排列求和。
n 阶行列式的定义

其中 ①
是
的全排列, ②
是
的逆序数, ③
是对所有
的全排列求和。
例:
,





























§2 矩阵的初等变换
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1. 互换两行(记 );
2. 以数
乘以某一行(记
);
3. 把某一行的 倍加到另一行上(记
)。
若将定义中的“行”换成“列”,则称之为初等列变换,初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
定义 若矩阵 经有限次初等行变换变成矩阵
,则称
与
行等价,记
;
若矩阵 经有限次初等列变换变成矩阵
,则称
与
列等价,记
;
若矩阵 经有限次初等变换变成矩阵
,则称
与
等价,记
。
等价关系满足:
1. 反身性: ;
2. 对称性: ;
3. 传递性: 。
§3 初等矩阵
定义 单位阵 经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,有如下形式:
1 .
2 .
3 .
上述 就是三种初等矩阵。
§4 矩阵的秩
定义 在
矩阵
中,任取
行
列的元素,按原排列组成的
阶行列式,称之为
的
阶子式。
若
矩阵
中有一个
阶子式
,并且所有的
阶子式全为零,则称
为
的最高阶非零子式,
称为
的秩,记
。
例 在
中,一个2 阶子式
,所有3 阶子式均为零:
,
,
,
故
。
特别,当
阶方阵
的行列式
,则
;反之,当
阶方阵
的秩
,则
。因此
阶方阵可逆的充分必要条件是
(满秩)。
定理 若
,则
。(矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩)
例 求
的秩,以及一个最高阶非零子式。
解 用初等行变换化
为行阶梯形矩阵:

所以,
,
是
的一个最高阶非零子式。























故


















